Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG 69
(z.B. die erste Spalte bei Multiplikation mit Q x ) und die anderen Spalten werden durch Linearkombinationen
der beiden ursprünglichen Spalten ersetzt. Es ist dann möglich, den Winkel Θ so
zu wählen, dass ein beliebiger Eintrag der beiden Spalten auf 0 gesetzt wird.
Das Prinzip der RQ-Zerlegung besteht nun darin, die Matrix A so mit drei Givens-Rotationen zu
multiplizieren, dass drei Einträge auf 0 gesetzt werden und eine obere Dreiecksmatrix übrig bleibt.
Dabei muss darauf geachtet werden, dass eine so gewonnene 0 nicht durch eine weitere Multiplikation
verloren geht. Wir setzen zunächst a 32 durch Multiplikation mit Q x auf 0. Anschließend
setzen wir a 31 durch Multiplikation mit Q y auf 0. Da durch diese Multiplikation die zweite Spalte
unverändert bleibt, ist a 32 weiterhin gleich 0. Zuletzt setzen wir a 21 durch Multiplikation mit Q z
auf 0. Da die ersten beiden Spalten durch ihre Linearkombinationen ersetzt werden, bleiben a 32
und a 31 gleich 0. Wir erhalten eine obere Dreiecksmatrix R also durch
R = AQ x Q y Q z
Daraus folgt
mit
A = RQ T z Q T y Q T x = RQ
Q = Q T z Q T y Q T x
Da die Rotationsmatrizen orthogonal sind, ist auch Q eine orthogonale Matrix.
Die gesuchten Rotationswinkel können durch recht einfache Gleichungen gefunden werden. Um
beispielsweise a 32 mit Q x auf 0 zu setzen, müssen wir c und s finden, welche die Gleichung sa 32 +
ca 33 = 0 erfüllen unter der Bedingung c 2 + s 2 = 0 (somit ist sichergestellt, dass ein Θ existiert mit
c = cos(Θ) und s = sin(Θ)). Dann ist
c =
a 32
√
a
2
33 + a 2 32
und
s =
−a 33
√
a
2
33 + a 2 32
.