Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

48 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG
wünschen wir einen möglichst kleinen Rückprojektionsfehler. Daraus entsteht das Minimierungsproblem
∑
min ˆPj, ˆX i
e Γ = min ˆPj, ˆX i
d( ˆP j ˆXi , x ij ) 2 (8.2)
i,j
Dieses Minimierungsproblem wollen wir durch Bundle Adjustment lösen, im Deutschen etwa ”
Bündelanpassung“.
Der Name begründet sich durch die Vorstellung, dass durch die Minimierung die
Strahlenbündel zwischen den 3D-Punkten und den Kamerazentren gleichzeitig angepasst werden.
Die Minimierung wird hier mit dem Levenberg-Marquardt-Algorithmus durchgeführt. Eine Alternative,
die zumindest eine sinnvolle Ergänzung darstellen kann, ist die Verwendung eines evolutionären
Algorithmus.
8.2 Bundle Adjustment
Wir werden kurz einen Blick auf die allgemeine Funktionsweise von interativen Miniermungsmethoden
wie den Levenberg-Marquard-Algorithmus werfen und anschließend die spezielle Anwendung
beim Bundle Adjustment betrachten. Mehr Details zur numerischen Minimierung im Allgemeinen
und zum Bundle Adjustment im Besonderen sind in [TMHF00] zu finden. Die hier angewandte
Vorgehensweise und insbesondere der Algorithmus aus Abschnitt 8.2.3 sind aus [HZ04] übernommen.
8.2.1 Iterative numerische Minimierungsmethoden
Gegeben sei eine Vektorfunktion f(p), die optimert werden soll. Es gibt einen Zielvektor z und der
Parametervektor p soll so gewählt werden, dass z durch f(p) approximiert wird, es soll also gelten
f(p) ≈ z (8.3)
Daraus ergibt sich die Fehlerfunktion
ɛ(p) = f(p) − z (8.4)
Die Funktion e(p) sei die quadrierte Fehlernorm von ɛ(p) und ist definiert durch
e(p) = 1 2 ‖ɛ(p)‖2 = 1 2 ɛ(p)T ɛ(p) (8.5)
Wir wollen nun e(p) minimieren.
Ein Startwert p 0 ist vorgegeben. e wird an dieser Stelle lokal approximiert durch eine lineare oder
quadratische Funktion und mit Hilfe deser Abschätzung versuchen wir, einen Wert p zu finden,
der den Funktionswert gegenüber p 0 verringert. Die Veränderung des Parametervektors, die wir
berechnen wollen, ist ∆ = p − p 0 . Wir fahren iterativ fort, bis wir zu einem lokalen Minimum
gelangen. Wir können allerdings nicht entscheiden, ob das erreichte Minimum auch ein globales
Minimum ist.
8.2.1.1 Gradientenabstieg
Die Ableitung von ɛ an der Stelle p 0 entspricht der Ableitung von f an der Stelle p 0 und ist gegeben
durch die Jacobi-Matrix J, die sich, stehen keine anderen Möglichkeiten zur Verfügung, numerisch
berechnen lässt. Der Gradient von e (also (8.5)) an der Stelle p 0 ist dann gegeben durch
g = J T ɛ(p 0 ) (8.6)