Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG 53
• je m Matrizen U j = ∑ i AT ij A ij und U ∗ j = U j + λI
• je n Matrizen V i = ∑ j BT ij B ij und V ∗
i
= V i + λI
• nm Matrizen W ij = A T ij B ij
• nm Matrizen Y ij = W ij V ∗−1
i
• m Vektoren ɛ aj
= ∑ i AT ij ɛ ij
• n Vektoren ɛ bi = ∑ j BT ij ɛ ij
Wir können dann die Matrix S aus (8.16) berechnen, indem wir sie als m × m Block-Matrix
definieren mit Blöcken
{
− ∑ i
S jk =
Y ijWik
T für j ≠ k
− ∑ i Y ijWik T + U j
∗ für j = k
Die rechte Seite der Gleichung stellen wir dar durch einen Vektor e = (e T 1 , ..., e T m) T mit
e j = −ɛ aj + ∑ i
Y ij ɛ bi
Wir können dann die Gleichung
S∆ a = e
nach ∆ a = (∆ T a 1
, ..., ∆ T a m
) T lösen.
Anschließend berechnen wir ∆ b = (∆ T b 1
, ..., ∆ T b m
) T durch
∆ bi
= V ∗−1
i (−ɛ bi − ∑ j
W T ij ∆ aj )
Wir sind völlig analog zu Abschnitt 8.2.3.1 vorgegangen. Das am Ende berechnete ∆ = (∆ T a , ∆ T b )T
ist identisch. Anstatt jedoch wie zuvor mit sehr großen Matrizen zu rechnen, wurden hier jeweils
nur die Blöcke berechnet, die tatsächlich Daten enthalten. Dies bringt enorme Verbesserungen der
Laufzeit mit sich.
Sollte der Rückprojektionsfehler e(p ′ ) = e(p+∆) gegenüber e(p) nicht verringert worden sein, wird
λ erhöht und wir berechnen damit ein neues ∆. Alle von λ unabhängigen Werte, also alle A ij , B ij ,
ɛ ij , U j , V i , W ij , ɛ aj und ɛ bi , müssen dabei nicht neu berechnet werden. Nach einer erfolgreichen
Iteration, also einer Verminderung des Rückprojektionsfehlers, wird der neue Parametervektor
p ′ = p + ∆ übernommen und λ für den nächsten Iterationsschritt gesenkt. Wir iterieren, bis der
Rückprojektionsfehler in einem Minimum konvergiert.
Für eine ausführlichere Erläuterung des Algorithmus siehe [HZ04].
8.3 Optimierung durch einen evolutionären Algorithmus
Vor allem bei einer schlechten initialen Rekonstruktion hat das Bundle Adjustment den Nachteil,
dass der Rückprojektionsfehler nur bis zu einem lokalen Minimum verringert wird, das meistens
weit entfernt von einer optimalen Lösung ist. Daher lohnt es sich, auch eine alternative Methode
zur Optimierung zu berücksichtigen, die lokale Minima überwinden kann – einen evolutionären
Algorithmus.