Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG 11
Wir wollen nun betrachten, wie sich die Parameter in der Kameramatrix wiederfinden. In [HZ04]
wird gezeigt, dass sich die Kameramatrix zerlegen lässt in
P = [ M | − M ˜C ] = K[ R | − R ˜C ] (2.8)
Diese Notation gibt eine zusammengesetzte Matrix an. Hier besteht die 3 × 4 Matrix P aus dem
linken 3 × 3 Block M und dem rechten 3 × 1 Block −M ˜C, und es gilt M = KR. R die Rotationsmatrix,
welche die Ausrichtung der Kamera angibt, ˜C sind die inhomogenen Koordinaten des
Projektionszentrums und K ist eine 3 × 3 - Matrix, welche die internen Kameraparameter angibt.
K hat 5 Freiheitsgrade und ist folgendermaßen aufgebaut:
⎛
K = ⎝ α ⎞
x s x 0
0 α y y 0
⎠
0 0 1
Sind die Parameter bekannt, kann P also einfach berechnet werden. Ist andererseits P bekannt,
muss die Matrix zerlegt werden um K, R und C bestimmen zu können.
Das Projektionszentrum C spannt den rechten Nullraum von P auf:
P C = 0
Es kann somit beispielsweise mit einer Singulärwertzerlegung der Matrix (siehe Abschnitt A.1.2)
berechnet werden.
M ist der linke 3 × 3 Block von P und es gilt M = KR, wobei die Kalibrationsmatrix K eine obere
Dreiecksmatrix ist und die Rotationsmatrix R orthogonal. Unter der zusätzlichen Bedingung, dass
K positive diagonale Einträge hat, kann M mit Hilfe der RQ-Zerlegung (siehe Abschnitt A.2)
eindeutig in K und R zerlegt werden.
Einen Sonderfall stellen Kameras dar, deren Projektionszentrum C auf Π ∞ , der Ebene im
Unendlichen, liegt. Dann existiert kein ˜C und die Zerlegung ist auf diese Weise nicht möglich. C
selbst kann allerdings wie zuvor durch P C = 0 gefunden werden.
Wir stellen an dieser Stelle fest, dass die Einträge der Kameramatrix tatsächlichen physikalischen
Gegebenheiten entsprechen. Wir gehen in den folgenden Kapiteln davon aus, dass all
diese Werte unbekannt sind. Dies ist insbesondere für die Werte der Kalibrationsmatrix K ein
folgenschwere Entscheidung. Es gibt Kalibrationsverfahren (siehe [HZ04]), um eine Kamera zu
kalibrieren, d.h., ihre Kalibrationsmatrix zu erfahren. Es wurde darauf bewusst verzichtet.
Wir werden stattdessen in Abschnitt 6.4 Kameramatrizen berechnen und benutzen, die mit den
tatsächlichen physikalischen Werten nicht viel gemeinsam haben. Wie wir sehen werden, hat das
zur Folge, dass wir nur ein projektives Modell eines 3D-Objektes erstellen werden, das allerdings
völlig unabhängig von der Kalibrierung der Kamera ist. Eine ausführliche Diskussion dieser
Problematik folgt in Kapitel 7.1.
2.4 Von 2D nach 3D
Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, wie ein Punkt im Raum auf eine Ebene projiziert werden kann.
l sei die Gerade, die einen Punkt X mit dem Projektionszentrum C verbindet. Die Projektion x
von X ist der Schnittpunkt von l mit der Bildebene. Ist nur x bekannt, so kann X nicht eindeutig
bestimmt werden. Wir wissen lediglich, dass X auf der Geraden l, die von x zurückprojiziert wird,
liegt. Es ist also offensichtlich, dass in einem Bild nicht genügend Informationen vorhanden sind,
um die 3D-Struktur zu rekonstruieren. In Kapitel 7 werde ich zeigen, wie man die Informationen
zweier Bilder kombinieren kann, um (bei unbekannten Kameramatrizen) zumindest eine projektive
Rekonstruktion von Raumpunkten zu finden.