Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

32 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG
ausdrücken können mit
⎛
x ′ 1x 1 x ′ 1y 1 x ′ 1 y 1x ′ 1 y 1y ′ 1 y 1 ′ x 1 y 1 1
.
. . . . . . . .
A =
x ′ i
⎜
x i x ′ i y i x ′ i y i ′ x i y i ′ y i y i ′ x i y i 1
⎝ . . . . . . . . .
x ′ nx n x ′ ny n x ′ n y nx ′ n y ny ′ n y n ′ x n y n 1
⎞
⎟
⎠
und
f = (f 11 , f 12 , f 13 , f 21 , f 22 , f 23 , f 31 , f 32 , f 33 )
Wir erhalten also f und somit F durch Lösen dieses Gleichungssystems. Zu beachten ist, dass dies
ein homogenes Gleichungssystem ist. Die Skalierung der Lösung ist also beliebig und wir benötigen
keine eindeutige Lösung, sondern einen 1-dimensionalen Lösungsraum.
Daher reicht es aus, 8 Punktkorrespondenzen und somit 8 Gleichungen zu benutzen. Darauf beruht
der 8-Punkt-Algorithmus (siehe 6.2.2.1). Außerdem muss zusätzlich sichergestellt werden, dass die
Fundamentalmatrix einen Rang von 2 hat. Dies kann dazu ausgenutzt werden, mit 7 Gleichungen
auszukommen (siehe 6.2.2.2).
Wir können auch mehr als 8 Gleichungen benutzen. Im Idealfall müsste die Matrix A dennoch Rang
8 behalten, da die Fundamentalmatrix nur 8 Freiheitsgrade hat. Jedoch sind die benutzten Punktkoordinaten
aufgrund von Rauschen und ungenauen Messdaten sowie diskreten Bildauflösungen
nicht exakt und wir erhalten im Allgemeinen ein überbestimmtes Gleichungssystem. Dann kann
eine Abschätzung der Lösung völlig analog zum 8-Punkt-Algorithmus mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
gefunden werden. Die abgeschätzte Lösung kann dann nicht alle Gleichungen erfüllen –
es gilt also nicht ‖Af‖ = 0 – es wird aber ‖Af‖ minimert unter der Bedingung ‖f‖ = 1. Siehe
hierzu Abschnitt A.1.2.
6.2.2.1 Der 8-Punkt-Algorithmus
Benutzen wir 8 Punktkorrespondenzen, erhalten wir ein Gleichungssystem mit 8 Gleichungen. Wir
können es mit Hilfe der Singulärwertzerlegung (siehe A.1.2) von A lösen und erhalten einen Lösungsvektor
f. Dieser spannt einen 1-dimensionalen Lösungsraum auf, das heißt für jedes k ∈ R≠0
ist kf eine mögliche Lösung. Die Singulärwertzerlegung liefert einen Vektor f mit ‖f‖ = 1. Wir
können nun aus f (bzw. kf, es gibt aber keinen Grund ein k ≠ 1 zu wählen) die Fundamentalmatrix
F erstellen. Abschließend wird wiederum mit Hilfe der Singulärwertzerlegung F auf Rang 2
gebracht (siehe dazu A.1.1).
Damit dieser simple Algorithmus zufriedenstellende Ergebnisse liefern kann, ist es unerlässlich,
die Daten, also die Bildkoordinaten, angemessen zu normalisieren. Wir wenden vor Aufstellung
des Gleichungssystems auf alle Punkte x i aus dem ersten Bild eine Transformation T und auf
alle Punkte x ′ i aus dem zweiten Bild eine Transformation T ′ an, die den Ursprung des jeweiligen
Koordiantensystems auf das Mittel der jeweiligen Punktmenge verschiebt und die Koordinaten so
skaliert, dass der durchschnittliche Abstand der Punkte zum Ursprung √ 2 beträgt.
Die Fundamentalmatrix ˆF , die wir dann berechnen, bezieht sich nun auf Punktkorrespondenzen
T x ↔ T ′ x ′ . Es gilt also
und damit
(x ′T T ′T ) ˆF (T x) = 0
x ′T (T ′T ˆF T )x = 0
und wir erhalten mit
F = T ′T ˆF T