Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

Kapitel 8
Optimierung der Rekonstruktion
Wie in Abschnitt 7.3.2 zusammengefasst haben wir nun unser Ziel erreicht – eine 3D-
Rekonstruktion der Punkte, die wir in den vorigen Abschnitten beobachtet und getrackt haben.
Wir haben festgestellt, dass uns auf dem Weg zu dieser Rekonstruktion einige Fehlerquellen begegnet
sind und wir nicht davon ausgehen können, dass unser Ergebnis wirklich eine zufriedenstellende
projektive Rekonstruktion ist. Wir müssen nun einen Weg finden, um die Güte unserer Rekonstruktion
zu messen. Anschließend werden wir versuchen, diese Güte nachträglich zu verbessern.
8.1 Bewertung der Rekonstruktion durch den Rückprojektionsfehler
Die einzige Information, die wir verwendet haben, ist die Position von bestimmten Punkten in den
Bildern und welche Bildpunkte miteinander korrespondieren, also den gleichen Raumpunkt darstellen.
An unser Modell kann also auch nur das unsere Anforderung sein: Die rekonstruierten Punkte
sollen durch die rekonstruierten Kameras genau an die Stellen abgebildet (also zurückprojiziert)
werden, an denen wir die zugehörigen Bildpunkte gemessen haben. Die Abweichungen können wir
messen und erhalten einen Rückprojektionsfehler.
Der Rückprojektionsfehler eines Punktes ist uns bereits in Abschnitt 7.2.1 begegnet. Er lässt sich
ausdrücken durch
e ˆX
= d( ˆP ˆX, x)
Hier ist also x der gemessene Bildpunkt, ˆX der rekonstruierte Raumpunkt und ˆP die rekonstruierte
Kameramatrix.
Wir betrachten nun die gesamte Rekonstruktion Γ = ({ ˆP j }, { ˆX i }) mit den berechneten Raumpunkten
ˆX i und den berechneten Kameramatrizen ˆP j . x ij sei der im j-ten Bild gemessene Bildpunkt,
der den i-ten Raumpunkt abbildet. Dann summiert sich der Rückprojektionsfehler zu
e Γ = ∑ i,j
d( ˆP j ˆXi , x ij ) 2 (8.1)
Hier drückt d die geometrische Bilddistanz aus, also den Abstand des zurückprojizierten zum gemessenen
Punkt im Bild.
Da die Messungen nicht exakt sind, wird selbst bei einer optimalen Rekonstruktion ein Fehler übrig
bleiben. In der Annahme, dass der Messfehler ein Gauß-verteiltes Rauschen ist, suchen wir eine
Maximum-Likelihood-Schätzung, daher wird in Formel 8.1 jeder einzelne Fehler quadriert.
Wir können die Güte unseres Modells also durch eine handliche Formel ausdrücken. Offensichtlich
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