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Kapitel 7 Rekonstruktion von 3D-Punkten In diesem Kapitel wollen wir 3D-Punkte rekonstruieren mit Hilfe der im letzten Kapitel berechneten Kameramatrizen. Da diese Kameramatrizen nicht eindeutig sind, erhalten wir keine eindeutige Rekonstruktion, sondern lediglich eine projektive Rekonstruktion. Im Abschnitt 7.1 werden wir diese Mehrdeutigkeit etwas näher beleuchten. Anschließend werden wir in Abschnitt 7.2 durch Triangulierung eine projektive Rekonstruktion einer Punktmenge erstellen. In Abschnitt 7.3 wird gezeigt, wie wir verschiedene solcher Rekonstruktionen zu einer einheitlichen Rekonstruktion zusammenfügen können. 7.1 Die Mehrdeutigkeit bei der Rekonstruktion Um zu verstehen, warum wir nur eine projektive Rekonstruktion erstellen können, erinnern wir uns, dass eine Abbildung vom Raum ins Bild durch Gleichung (2.7), also x = P X dargestellt wird. Gegeben sei nun eine Punktmenge von n Raumpunkten X i und x i seien deren Abbildungen, es gilt also x i = P X i ∀i = 1..n Sei H eine projektive Transformation, die wir auf die gesamte Punktmenge – also auf jeden einzelnen Raumpunkt – anwenden. Dann gilt x i = (P H −1 )HX i ∀i = 1..n Wir erhalten also unter Verwendung einer entsprechend transformierten Kameramatrix P H −1 für jeden Punkt exakt die gleiche Projektion wie zuvor. Wenn die Kameramatrix keinen weiteren Beschränkungen unterliegt und wir P und die Punkte X i also lediglich aufgrund ihrer Abbildungen x i berechnet haben, ist keine Rekonstruktion ” richtiger“ als eine beliebig transformierte Rekonstruktion. Die Verwendung mehrerer Bilder hilft uns zunächst nicht weiter. Benutzen wir m Bilder, also auch m Kameramatrizen, so gilt für die Projektion x ij des i-ten Punktes ins j-te Bild x ij = (P j H −1 )HX i ∀i = 1..n, j = 1..m (7.1) für eine beliebige projektive Transformation H. Werfen wir einen Blick in Abschnitt 6.4, so sehen wir, dass wir hier für ein berechnetes Kamerapaar P, P ′ auch jedes Kamerapaar P H, P ′ H wählen können. Offensichtlich beziehen diese sich dann auf eine projektive Rekonstruktion H −1 X der Raumpunkte, wenn X eine Rekonstruktion in Bezug auf P, P ′ ist. Wenn wir diese Rekonstruktion also in Abschnitt 7.2 durchführen werden, muss uns bewusst sein, dass die Rekonstruktion von den gewählten Kameramatrizen abhängt und jede 39
40 IR-INI 2006–01, c○ 2006 Institut für Neuroinformatik, Ruhr-Universität Bochum, FRG projektiv transformierte Rekonstruktion ebenso richtig wäre. Wir müssen zur Kenntnis nehmen, dass wir mit den gegebenen Daten auch nicht mehr erreichen können – die Informationen, die wir benutzen, reichen lediglich für eine projektive Rekonstruktion aus. Wir können uns nun fragen, welche weiteren Informationen wir benötigen, um eine eindeutige Rekonstruktion zu erhalten – falls sie überhaupt möglich ist. Würden wir die ” wahren“ Kameramatrizen kennen und zur Rekonstruktion benutzen, würden wir eine ” wahre“, eindeutige Rekonstruktion erhalten. Jedoch sind in den Kameramatrizen Position und Ausrichtung der Projektionszentren in der Welt enthalten – relativ zu einem Weltkoordinatensystem. Doch weder gibt es ein allgemeines Weltkoordinatensystem, auf das wir uns beziehen könnten, noch könnten wir aus optischen Informationen die Position eines Objektes in einem derartigen Koordinatensystem bestimmen. Die absolute Position des Objektes in der Welt interessiert uns aber eigentlich auch nicht – eine Translation und auch eine Rotation des Objektes in der Welt können und wollen wir also nicht ermitteln. Außerdem können wir die Skalierung eines Objektes nicht bestimmen. Sehen wir uns das Spielzeugauto an, dessen Bildsequenz wir als Beispiel in dieser Arbeit benutzen: Es ist für den Betrachter der Bilder unmöglich, auch nur annähernd die Größe des Spielzeugautos zu ermitteln. Dies ist eine Information, die, ebenso wie die absolute Position und Rotation des Objektes in der Welt, in den Bildern einfach nicht enthalten ist. Sehen wir uns die Kameramatrizen (siehe Abschnitt 2.3) an, so stellen wir fest, dass es also Position und Ausrichtung (C und R) sind, die wir nicht absolut bestimmen können. Bestimmen könnten wir die Unterschiede dieser Werte zwischen den Kameramatrizen, jedoch nicht die Skalierung dieser Unterschiede. Die Kalibrationsmatrizen dagegen enthalten physikalische Eigenschaften der Kamera. Diese könnten prinzipiell ermittelt werden. Was wir dann erreichen können, ist eine metrische Rekonstruktion. Sei die Punktmenge {X i } eine metrische Rekonstruktion, dann ist {H S X i } eine ebenso gültige metrische Rekonstruktion, wobei H S eine Ähnlichkeits-Transformation nach (2.5) darstellt. In einer metrischen Rekonstruktion ist also die Form eines Objektes eindeutig, die Position und Ausrichtung sowie die Skalierung des Objektes nicht. Um an die Kalibrationsmatrizen zu gelangen, wäre es am naheliegensten, die Kamera zu kalibrieren. Dies ist z. B. durch Aufnahme von geeigenten Kalibrationsobjekten, deren Geometrie bekannt ist, möglich, siehe hierzu [HZ04]. Dieses Ansatz habe ich nicht gewählt, da es einige Einschränkungen mit sich bringt und ich das System möglichst allgemein und offen halten wollte. Die Bedingung, nur Bildsequenzen zu verwenden, die mit kalibrierten Kameras und bekannten Kalibrationsmatrizen aufgenommen wurden, ist eine recht harte Einschränkung. Wie eine metrische Rekonstruktion mit Hilfe bekannter Kalibrationsmatrizen erstellt werden kann, ist in [HZ04] beschrieben. Ein vielversprechender Ansatz ist die Idee der automatischen Kalibrierung. Wir können Bedingungen an die Kalibrationsmatrix stellen, zum Beispiel dass alle oder bestimmte Parameter konstant sind. Dann werden mit jedem Bild, das wir benutzen, die Freiheitsgrade der Rekonstruktion verringert und bei einer ausreichenden Zahl von benutzten Bildern können wir eine metrische Rekonstruktion erstellen. Siehe hierzu auch Abschnitt 10.2.2.1. Für den Augenblick finden wir uns aber damit ab, dass wir lediglich eine projektive Rekonstruktion erstellen. 7.2 Triangulierung Die hier beschriebene Triangulierung und insbesondere der Algorithmus in Abschnitt 7.2.1 sind aus [HZ04] übernommen. Gegeben sei eine Punktkorrespondenz x ↔ x ′ und die zu den jeweiligen Bildern gehörenden Kameramatrizen P und P ′ . Dann sind die von x und x ′ zurückprojizierten Geraden bekannt. Da beide Punkte Projektionen desselben Raumpunktes X darstellen, sollte X auf beiden Geraden liegen und somit den Schnittpunkt der Geraden darstellen (siehe auch Abb. 6.1). Auf diese Weise kann der
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