Inkrementelle Akquisition von 3D-Objektmodellen - Institut für ...

Anhang A
Matrix - Zerlegungen
A.1 Singulärwertzerlegung
Die Singulärwertzerlegung (oder kurz SVD für Singular Value Decomposition) ist ein mächtiges
Werkzeug für numerische Berechnungen. Es wird hier gezeigt, wie sie in den Fällen, die für
diese Arbeit eine Rolle spielen, angewendet werden kann. Dabei folge ich [HZ04]. Wie die SVD
funktioniert und implementiert werden kann, wird an dieser Stelle nicht gezeigt. Hierzu siehe
[GL89] bzw. [PTVF88] oder auch [Gro01]. Zur Durchführung der SVD standen Methoden der
FLAVOR-Bibliothek zur Verfügung.
Eine m × n Matrix A mit m ≥ n kann zerlegt werden in A = UDV T , so dass
• U eine m × n Matrix mit orthogonalen Spalten ist (d.h., es gilt U T U = I n×n )
• D eine n×n Diagonalmatrix ist, deren Einträge nicht negativ und in absteigender Reihenfolge
angeordnet sind
• V eine orthogonale n × n Matrix ist.
Die Einträge in D sind die Singulärwerte von A. Die Spalten von U sind die linken Singulärvektoren
(Spalte U i ist der zu d ii gehörende Singulärvektor), die Spalten von V (also Zeilen von V T ) die
rechten Singulärvektoren. Da die linken Singulärvektoren für uns nicht von Interesse sind, ist im
Folgenden mit Singulärvektor immer ein rechter Singulärvektor gemeint.
Diese Matrixzerlegung hat folgende nützliche Eigenschaften:
• Die Anzahl an von Null verschiedenen Einträgen in D (also Singulärwerten) entspricht dem
Rang der Matrix A.
• Hat die Matrix A einen Rang von r < n, so sind n − r Singulärwerte 0. Die dazu gehörenden
Singulärvektoren spannen den n − r - dimensionalen Kern von A auf.
A.1.1
Verringern des Ranges einer Matrix mit Hilfe der Singulärwertzerlegung
Da die Anzahl an Singulärwerten, also Einträge in D, den Rang der Matrix bestimmen, können
wir einfach Einträge von D auf 0 setzen, um den Rang der Matrix - wenn wir sie anschließend
wieder zusammensetzen - zu verringern. Sei also D ′ die so modifizierte Diagonalmatrix, r der Rang
von A und k die Anzahl an Einträgen von D, die wir auf Null setzen. Dann ist A ′ = UD ′ V T
eine Matrix von gewünschtem Rang r − k. Die Matrix A ′ soll sich natürlich möglichst wenig von
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