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Für nicht Abelsche Gruppen gilt das Kommutativgesetz nur für die Spezialfälle
a*e=e*a und a*a -1 =a -1 *a. Beispiele für kommutative Gruppen sind die ganzen
positiven und negativen Zahlen bzgl. der Addition (Z,+) mit e = 0 und a -1 = -a
sowie die rationalen Zahlen ohne die Null bzgl. der Multiplikation (Q \ 0,·)mit
e = 1 und a -1 = 1/a.
Nach der Definition mathematischer Gruppen geht es nun darum, eine allgemeine
Darstellung für endliche Gruppen (=Gruppen mit endlich vielen Elementen)
zu finden, da Cayley-Graphen endlich viele Knoten haben. Für diesen
Zweck erweisen sich Permutationen von Zahlenanordnungen als besonders
nützlich, deshalb wird im folgenden der Begriff der Permutation in der Gruppentheorie
und verschiedene Permutationsschreibweisen erläutert.
Definitionen von Permutationen
Aus der Kombinatorik ist der Begriff der Permutationen bereits bekannt. Dort
heißt jede Anordnung von n Elementen eine Permutation dieser Elemente, wobei
die Anzahl aller Permutationen von n Elementen gleich
1 ⋅2 ⋅3 ⋅ … ⋅ n = n! ist. In der Gruppentheorie wird eine Permutation zusätzlich
als Abbildung interpretiert. Die Permutation 321 beispielsweise, die aus der
"natürlichen" Anordnung 123 entstanden ist, definiert in der Gruppentheorie
die zyklische Abbildung 1→ 3, 2 → 2,
3 → 1. Permutationsabbildungen sind
für die Gruppentheorie deshalb wichtig, weil sie die Konstruktion endlicher
Gruppen ermöglichen und deren Darstellung vereinfachen. Somit müssen zum
Verständnis der Cayley-Graphen die Permutationsfunktionen näher erläutert
werden.
Für die Spezifikation von Permutationen gibt es verschiedene Möglichkeiten,
die sich jeweils für einen bestimmten Zweck besonders eignen. Die übersichtlichste
Darstellungsform für die Permutation
p: M → M mit 1 → p( 1) , 2 → p( 2)
, …,
n → p( n)
ist die Matrizenschreibweise
p
=
⎛ 1
⎝p( 1)
2
p( 2)
…
…
n ⎞ ,
pn ( ) ⎠
bei der zugeordnete Elemente jeweils untereinander stehen. Die Matrizenschreibweise
ist folgendermaßen zu lesen: Die Zahl 1 (= 1. Element in der 1.
Zeile der Matrix) wird abgebildet auf, d.h. ersetzt durch p(1), die Zahl 2 wird
ersetzt durch p(2), 3 durch p(3), usw. Die Matrizenschreibweise definiert Permutationen
also als die Abbildung der geordneten Zahlenfolge 1,2,3,.. auf Permutationen
dieser Folge.
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