Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

mit den Knoten
N 0 ' = a n-1 ,..,a 2 0a n bzw. N 1 ' = a n-1 ,..,a 2 1a n
verbunden (E 0 mit N 0 ' und E 1 mit N 1 '), die wiederum zueinander keine Exchange-Knoten
sind. Faßt man in einem binären Shuffle Exchange-Graphen je
zwei Exchange-Knoten E 0 und E 1 zu einem einzigen Knoten E zusammen, erhält
man daraus im korrespondierenden de Bruijn-Graphen einen Knoten K und
es gilt: E = K = a n a n-1 ,..,a 2 .
Die Verschmelzung aller Exchange-Knotenpaare eines Shuffle-Exchange
Graphen aus 2 n Knoten, liefert einen de Bruijn-Graphen aus 2 n-1 Knoten (Bild
3.9b). Diesen Zusammenhang kann man als zweite Möglichkeit zur Konstruktion
von de Bruijn-Graphen benutzen.
Eine dritte Konstruktionsmöglichkeit für binäre de Bruijn-Graphen besteht
darin, daß man einen de Bruijn-Graphen G der Größe N/2 = 2 n-1 auf die doppelte
Größe erweitert. Die Verdopplung erfolgt so, daß man die 2 n Kanten des
Graphen G durch Knoten ersetzt, während seine ursprünglichen Knoten entfallen,
so daß man im neuen Graphen G' insgesamt 2 n Knoten erhält. G' heißt dann
Kantengraph von G. Der entscheidende Schritt bei diesem Verfahren ist, daß
man aus je zwei benachbarten Kanten in G, die einen Pfad der Länge zwei bilden,
eine neue Kante in G' formt. In Bild 3.10a ist ein de Bruijn-Graph für N/2
= 2 gezeigt, aus dem ein (N = 4)-Graph konstruiert wird. In Bild 3.10b sind die
beiden ursprünglichen Knoten grau, die neuen Knoten schwarz gezeichnet. Bild
3.11c zeigt das Resultat.
Die rekursive Konstruktion des de Bruijn-Graphen besteht also aus drei Schritten:
• Plazieren von neuen Knoten auf den Kanten von G (In Bild 3.10b schwarz
dargestellt)
• In dem daraus entstehenden Zwischengraphen werden je zwei benachbarte
Kanten eines Pfades der Länge zwei zu einer neuen gerichteten Kante zusammengefaßt
(ebenfalls schwarz in Bild 3.10b dargestellt)
• Weglassen der Knoten und Kanten von G (Bild 3.10c).
3.6.7 Star Graph-Topologie
Star-Graphen zählen zu den relativ neuen Verbindungsstrukturen. Genau wie
Hypercuben und de Bruijn-Graphen besitzen Star-Graphen [Akers89] eine rekursive
Struktur und eine Reihe von Symmetrieeigenschaften. Darüberhinaus
weist der Star-Graph bei geringem Knotengrad einen relativ kleinen Durchmesser
auf, was ihn interessant für Verbindungsnetzwerke für Parallelrechner
macht. In den letzten Jahren sind eine Reihe von Algorithmen für den Star-Graphen
entworfen worden, die als sehr effizient gelten.
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