Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

das Resultat
p ° q = ⎛1 2 3 4⎞.
⎝2 3 4 1⎠
Die Verkettung erfolgt, indem man jede Ziffer in der zweiten Zeile von q als
Adresse in der ersten Zeile von p auffaßt. Die Verkettung entspricht somit einem
zweimaligen Tabellennachschlagen bzw. einer indirekten Adressierung.
Aufgrund dieser Definition ergibt sich, daß auch mehrfache Verkettungen möglich
sind.
Neben der Matrizenschreibweise eignet sich die kompakte Schreibweise von
Permutationen besonders gut für die Ausführung einer Verkettung, wie man an
dem Produkt p ° q =4123° 3412=2341 sehen kann.
Ein zweites Beispiel für die Ausführung einer Verkettung lautet:
p ° q = 4213 ° 3412 = 1342.
Dies wird folgendermaßen gelesen: "Position 1 wird ersetzt durch Ziffer 3 (q-
Term), Position 3 wird ersetzt durch Ziffer 1 (p-Term)". Daraus ergibt sich in
der Position 1 des Resultats die Ziffer 1. Die zweite Ziffer des Resultats berechnet
sich zu: "Position 2 wird ersetzt durch Ziffer 4 (q-Term), Position 4 wird ersetzt
durch Ziffer 3 (p-Term)". Daraus ergibt sich die Ziffer 3 in der Position 2
des Resultats. Die dritte Ziffer des Resultats resultiert aus: "Position 3 wird ersetzt
durch Ziffer 1 (q-Term), Position 1 wird ersetzt durch Ziffer 4 (p-Term)".
Daraus ergibt sich die Ziffer 4 in der Position 3 des Resultats, u.s.w.
Nach der Einführung des Verkettungsoperators kann man folgenden Satz angeben
[Böhme92], der sagt, wie man eine Permutationsgruppe konstruiert:
Satz 3.8: Die Menge (P,°) aller n! Permutationen einer Menge M von n Elementen
bildet eine Gruppe bzgl. der Verkettung ° als Verknüpfung. Die Permutationsgruppe
heißt symmetrische Gruppe S n .
Die symmetrische Gruppe S n ist abgeschlossen bzgl. der Verkettung "°" und hat
das neutrale Element "1 2 3 .. n". Zu jeder Permutation p existiert das korrespondierende
inverse Element p -1 . Darüberhinaus gilt das Assoziativgesetz für
die Verkettung dreier Permutationen.
Isomorphismus zwischen der Permutationsgruppe S n und allen übrigen
Gruppen
Es läßt sich ein Zusammenhang zwischen den Permutationselementen von S n
und den Elementen beliebiger anderer endlicher Gruppen G herstellen, indem
man eine isomorphe 4 Abbildung ρ von S n auf G definiert. Dabei gilt folgender
wichtiger Satz [Böhme92]:
4.
isomorph heißt "gleichgestaltig", d.h. die Eigenschaften von S n werden durch die Abbildung ρ nicht
verändert.
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