Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

hend modifiziert, daß die erste Zeile der Matrix weggelassen und die zweite
1 2 3 4
Zeile ohne Klammern geschrieben wird. Aus p = ⎛
⎞
⎝4 1 2 3⎠
beispielsweise wird so 4123. Diese Schreibweise ist sehr ähnlich der Vektorschreibweise,
nur unterliegt sie nicht deren Einschränkungen bzgl. der Verknüpfung
von Vektoren. Die kompakte Darstellungsform kann ebenfalls als Positions-/Inhaltsbeziehung
interpretiert werden. Die Deutung gemäß einer
Positions-/Inhaltsbeziehung erlaubt, die Verknüpfung mehrerer Permutationen
zu einem Produkt einfach durchzuführen und deshalb wird sie für die Spezifikation
von Cayley-Graphen eingesetzt.
Beispiel:
Die Permutation 4123 ist folgendermaßen zu lesen: "Auf die Position 1, d.h.
ganz links kommt die Ziffer 4, auf die Position 2 die Ziffer 1, auf die Position
3 die Ziffer 2, usw." Ein anderes Beispiel ist die Permutation 123..n, bei der Ziffer
und Adreßposition identisch sind.
Konstruktion endlicher Gruppen
Weil die Cayley-Graphen endliche Gruppen repräsentieren, geht es nach der
Definition von Permutationen, deren Schreibweisen und Verknüpfungen nun
darum, zu zeigen, daß man aus Permutationen endliche Gruppen konstruieren
kann. Um dies besser einzusehen, wird im ersten Schritt eine spezielle Gruppe
definiert, die aus Permutationen als Elementen besteht. Im zweiten Schritt wird
die Analogie (Isomorphismus) zwischen Permutationsgruppen einerseits und
allen endlichen Gruppen andererseits gezeigt. Daraus ergibt sich im dritten
Schritt nach einem Satz, daß alle endliche Gruppen auf Permutationsgruppen
zurückgeführt werden können.
Konstruktion einer Permutationsgruppe
Für die Konstruktion einer Permutationsgruppe muß eine Verknüpfungsoperation
zwischen den Elementen einer Menge, die in diesem Fall Permutationen
sind, definiert werden. Als Verknüpfungsoperation eignet sich die Verkettung,
d.h. Hintereinanderausführung von Permutationen. Da Permutationen in der
Gruppentheorie als Abbildungen gedeutet werden, greift man für die Definition
der Verkettung auf die Definition von ineinandergeschachtelten Abbildungen
zurück. Dabei gilt, daß die Verkettung "°" zweier Permutationen p ° q von
rechts nach links ausgeführt wird, so daß p ° q = p(q) ist. (Lies: "p verknüpft q
ist gleich p angewandt auf q").
Beispielsweise liefert die Verkettung von
p ⎛1 2 3 4⎞
1 2 3 4
= und q = ⎛
⎞
⎝4 1 2 3⎠
⎝3 4 1 2⎠
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