Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

p
=
⎛1 2 3 4 5⎞
⎝1 3 2 5 4⎠
läßt sich beispielsweise durch das "Produkt" der Zweierzyklen p = (1)(23)(45)
ausdrücken. Die Reihenfolge der Zyklen spielt hier keine Rolle, weil die Zyklen
ziffernfremd sind, d.h. keine Ziffer taucht mehrfach auf. Üblicherweise werden
Einerzyklen weggelassen und Zweierzyklen als Vertauschung oder auch als
Transposition bezeichnet. Zyklen mit zwei oder mehr Elementen heißen zyklische
Vertauschung - ein Begriff der u.a. aus der Geometrie von Dreiecken bekannt
ist.
Zyklische Vertauschung von Elementen
Als Beispiel einer zyklischen Vertauschung sollen die Ziffern 123 und die Permutation
(123) betrachtet werden. Das Resultat der Permutation lautet 231 und
wird gelesen: "2 wird ersetzt durch 3, 3 wird ersetzt durch 1 und 1 wird ersetzt
durch 2". Dies entspricht einer zyklischen Linksverschiebung der Ziffern um
eine Stelle. Eine entsprechende Rechtsverschiebung mit dem Resultat 312 wird
durch die Permutation (132) hervorgerufen.
In Bild 3.28 ist die zyklische Verschiebung am Beispiel der Dreiecksvertauschung
dargestellt. Bei der Dreiecksvertauschung ist zu beachten, daß die Rotation
der Ziffern im Uhrzeigersinn eine zyklische Abbildung (Ersetzung) im
Gegenuhrzeigersinn bedeutet.
wird
abgebildet auf
vorher:
1
2 3
wird
abgebildet auf
wird
abgebildet auf
nachher:
2
3 1
Bild 3.28: Zyklische Dreiecksvertauschung.
Eine technische Anwendung der zyklischen Vertauschung stellt ein zum Ring
rückgekoppeltes Schieberegisters dar, wie es bereits im 1. Kapitel vorgestellt
wurde. Die Wirkung eines nach links schiebenden Schieberegisterrings läßt
sich mit Hilfe der Permutation p L = (123...n) beschreiben. Die entsprechende
Permutation für die Rechtsverschiebung um eine Stelle lautet:
p R =(1n (n-1) ... 3 2).
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