Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

Gitter und Bäume einbetten, für die eine Vielzahl paralleler Anwendungen existieren.
Die drei genannten Topologien sind in der parallelen Programmierung besonders
gebräuchlich. Auf Gittern beispielsweise können sehr gut partielle Differentialgleichungen,
Matrixoperationen und Mehrgitterverfahren berechnet
werden können. Auf Bäumen sind alle Teile-und-Herrsche-Algorithmen (Divide
and Conquer) leicht implementierbar. Der Ring schließlich wird wegen seiner
Einfachheit und seinen geringen Kosten besonders bei kleinen Parallelrechnern
bzw. verteilten Systemen verwendet. Ein guter Überblick zur Emulationsfähigkeit
des Hypercubes ist z.B. in [Leighton92] zu finden.
3.8 Das Grad-Durchmesser-Problem
Verbindungsnetzwerke gelten vom topologischen Standpunkt aus als gut, wenn
sie bei gegebener Knotenzahl N einen möglichst geringen Durchmesser k und
einen kleinen Knotengrad d haben, weil dann Latenzzeit und die Zahl der Netzanschlüsse,
die den Hauptkostenfaktor in einem statischen Netz darstellen, minimal
sind. Die Frage dabei ist, wie klein d und k bei gegebener Knotenzahl
überhaupt werden können. Mit dieser Fragestellung verwandt ist die Frage, wie
viele Knoten N man bei gegebenem Durchmesser k und Knotengrad d maximal
miteinander verbinden kann. Das letztere wird als das (d, k)-Problem bezeichnet.
In der Mathematik wird das Grad-Durchmesser-Problem bei Graphen seit
langem untersucht [Elspas64, Imase85, Opatrny85]. Eine umfassende, endgültige
Lösung des Problems ist zur Zeit nicht in Sicht. Die besten bekannten Verfahren
zur Erzeugung guter Graphen sind heuristischer Natur [Bermond84].
Eine obere Grenze für N(d, k) ist nach [Delorme84] gegeben durch:
Gl. 3.5:
dd ( – 1) k – 2
Ndk ( , ) ≤ ------------------------------ , für d > 2
d – 2
Gl. 3.5 wird als Moore-Grenze bezeichnet. Interessant ist, daß die heute gebräuchlichen
Graphen weit von der Moore-Grenze entfernt sind. Ein Hyperkubus
mit d = k = 4 beispielsweise hat 16 Knoten, während nach Moore 161 Knoten
möglich sein müßten!
Das Problem ist allerdings, daß man nicht weiß, wie man Graphen mit der
Moore-Knotenzahl konstruiert und daß nur sehr wenige Graphen überhaupt bekannt
sind, wie z.B. der Petersen Graph, die diese Obergrenze tatsächlich erreichen.
Mittlerweile wurde sogar gezeigt, daß es aus prinzipiellen Gründen nur
wenige Moore-Graphen geben kann [Sied92]. Trotzdem ist die Moore-Grenze
eine gute Orientierungshilfe, die motiviert, "bessere" Graphen zu finden.
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