Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

terscheiden sich von den Graphen mit partieller Ordnung dadurch, daß sie intransitiv
und asymmetrisch sind. In Bild 4.45 ist ein Beispiel einer partiellen
Ordnung und das dazu gehörende Hasse-Diagramm zu sehen.
transitive
Reduktion
Bild 4.45: Beispiel einer partiellen Ordnung (links) und seines Hasse-Diagramms (rechts).
Ein Hasse-Diagramm wird aus einem Graphen einer partiellen Ordnung durch
transitive Reduktion gewonnen. Die transitive Reduktion eliminiert alle Pfeile
auf sich selbst (Reflexivität) und alle "Abkürzungen" (Transitivität). Man unterscheidet
bei den Hasse-Diagrammen drei Arten von Knoten, aus denen entsprechend
auch alle Banyans aufgebaut sind:
• Eingangsknoten, auf die keine Pfeile zeigen.
• Ausgangsknoten, von denen keine Pfeile weggehen, und
• Zwischenknoten im Innern des Banyans mit zu- und abgehenden Pfeilen.
Alle Banyans haben die Eigenschaft, daß sie aus k-nären Bäumen als Subgraphen
bestehen. Jeder Subgraph verbindet einen bestimmten Eingangsknoten
mit allen Ausgangsknoten und hat die Topologie eines Baumes. Umgekehrt läßt
sich von jedem Ausgangsknoten genau ein Baum konstruieren, der den betreffenden
Ausgang mit allen Eingängen verbindet. Daraus resultiert die erwähnte
Eigenschaft, daß es in einem Banyan genau einen Weg von einem bestimmten
Eingang zu jedem Ausgang gibt, bzw. daß umgekehrt jeder Ausgang eindeutig
von allen Eingängen erreichbar ist.
4.7.3 n-Ebenen-Banyans
Aus der Klasse der Banyan-Netze sind diejenigen besonders wichtig, bei denen
die Knoten in Ebenen angeordnet sind. In dieser Untergruppe verlaufen die
Pfeile aufgrund ihrer Intransitivität nur zwischen Knoten benachbarter Ebenen.
Dadurch wird das Routing besonders einfach, und die Wege von jedem Eingang
zu jedem Ausgang sind gleich lang (identische Latenz). Diese schichtweise
Konfiguration wird als n-Ebenen-Banyan bezeichnet. In Bild 4.46 sind zwei
Beispiele von Graphen gezeigt, die sowohl einen nicht-n-Ebenen-Banyan als
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