Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

a)
b)
c)
Bild 3.10: Rekursive Konstruktion eines de Bruijn-Graphen für N = 4 und b =2 [Leighton92].
Konstruktion des Star-Graphen
Zur Konstruktion von Star-Graphen geht man von einer Menge von n verschiedenen
Elementen aus, die als Symbole bezeichnet werden. Jedes Symbol
wird durch eine Ziffer zur Zahlenbasis n repräsentiert. Im ersten Schritt wird ein
Startvektor erzeugt, indem man eine beliebige Aneinanderreihung (Sequenz)
von n Symbolen bildet. Im zweiten Schritt wird eine bestimmte Permutationsregel
auf die Symbolsequenz angewandt, um daraus eine neue Sequenz zu erzeugen,
auf die wiederum dieselbe Regel angewandt wird, usf. So entsteht eine
Menge mit Sequenzen von Symbolen (Vektoren) als Elementen, die untereinander
verschieden sein müssen. Die Permutationsregel wird als Generator bezeichnet,
und die Elemente der Sequenzmenge werden mit den Knoten eines
ungerichteten Graphen identifiziert. Die Sequenzen adressieren die Knoten im
Graphen, da es gemäß Voraussetzung keine zwei gleichen Sequenzen gibt.
Im letzten Schritt der Konstruktion von Star-Graphen werden dann zwei
Knoten im Graphen miteinander verbunden, wenn der eine Knoten durch Permutation
der Symbolsequenz aus dem anderen Knoten hervorgegangen ist.
Wichtig ist festzustellen, daß die Star-Graphen eine Untermenge der Cayley-
Graphen [Akers89] sind, die wiederum auf einigen Sätzen aus der Gruppentheorie
basieren (Cayley-Graphen werden im nächsten Kapitel behandelt).
Zur Erzeugung des speziellen Star-Graphen wird als Permutationsregel die
Butterfly-Permutation verwendet. Die Butterfly-Permutation β i zur Zahlenbasis
n ist im Gegensatz zur Verwendung bei dynamischen Netzen definiert als:
Def. 3.4: β i
( a n
a n – 1
…a n – ( i–
1)
…a 2
a 1
) = a n – ( i – 1)
a n – 1
…a n
…a 2
a 1
,
wobei a k
∈ { 0, 1, …,
n – 1}
ist. Die Butterfly-Permutation β i tauscht in der Sequenz
a n ,...,a 1 das erste Symbol (a n ) mit dem i. Symbol aus (i≤n), weshalb sie
auch als Transposition bezeichnet wird. Durch eine Transposition kann man ein
Symbol in einer Sequenz an jede Position transportieren, so daß die Anzahl un-
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