Verbindungsnetzwerke für parallel und verteilte Systeme.pdf

SW-Banyan überführt werden kann. Anders sind die Verhältnisse beim CC-Banyan:
Hier verhalten sich Bild und Spiegelbild wie die linke und rechte Hand
zueinander, stellen also zwei verschiedene Topologien dar.
Sowohl SW- als auch CC-Banyan bestehen aus Eingangs-, Ausgangs- und
Zwischenknoten sowie den Verdrahtungsebenen und können mit regelmäßigem
oder unregelmäßigem spread und fan in konstruiert werden. Im regelmäßigem
Fall lassen sie sich eindeutig durch die Angabe von "(f, s, n)-SW" bzw.
"(f, s, n)-CC" charakterisieren.
Während für n=f=s=2 genau drei verschiedene Banyans existieren, die
topologisch verschieden sind, gibt es für n=3 und f=s=2 einen großen Sprung in
der Zahl möglicher Banyans: Laut E. Hotzel [Hotzel95] existieren 325 dreistufige,
binäre Banyans, die außer der Typangabe SW- bzw. CC-Banyan keinen
eigenen Namen mehr haben und von denen 168 topologisch unabhängig sind.
Alle 325 Banyans realisieren darüber hinaus unterschiedliche Mengen von
Permutationen, so daß sie auch funktional verschieden sind. Für n>3 ist die genaue
Zahl der Banyans bereits nicht mehr bekannt. Man weiß nur, daß sie zwischen
2 2n – 1
– 13 und 2 ( n – 1)2
2 n – 1
liegt [Hotzel95].
4.7.5 Dualität der Banyans
Nach Lipovski und Malek [Lipovski87] kann jeder Banyan auf zwei verschiedene
Arten interpretiert werden: In der ersten Interpretation stellen die Knoten
des Banyans fxs-Schalter dar, und die Kanten zwischen den Knoten entsprechen
der Verdrahtung zwischen den Schaltern verschiedener Ebenen. Diese Interpretation
wird auch als Aktivknotenmodell bezeichnet, weil jeder Knoten eine
Schaltfunktion ausübt.
In der zweiten Interpretationsweise, die für Banyans möglich ist, sind die
Knoten des Graphen Anschlußpunkte für Leitungen (sog. "Lötstützpunkte")
und die Kanten repräsentieren Ein/Ausschalter. Hier haben die Knoten keine
Schaltfunktion (= Passivknotenmodell).
In Bild 4.55 ist exemplarisch ein SW-Banyan aus 3 Ebenen mit f=s=2 gezeigt,
der gemäß des Aktivknotenmodells interpretiert und in Bild 4.56 als
logN-Netz dargestellt wird. Die Knotenein- und ausgänge haben dazu je zwei
Leitungen zum Anschluß an Prozessoren oder Rechner.
Man sieht, daß die Topologie des (2, 2, 3)-SW-Banyans in dieser Interpretation
bis auf eine Unshuffle-Stufe am Ausgang identisch mit dem bereits bekannten
Indirect Binary n-Cube [Pease77] ist. Daß dieses aus dem Banyan abgeleitete
Netz auch ohne Unshuffle-Stufe am Ausgang funktionieren kann, zeigt Bild
4.57, in dem das Routing in diesem Graphen für den Fall von 16 Ein- und Ausgängen
exemplarisch dargestellt ist.
Das Passivknotenmodell erlaubt eine besondere Optimierung vorzunehmen: In
einem separaten Schritt können die Knoten benachbarter Ebenen und deren
Kanten zu sxf-Schaltern zusammengefaßt werden, um dadurch eine Vereinfachung
der Netzstruktur zu erreichen. Beispielsweise kann man zwei gegenüber-
198