Einführung in Hegels Logik - Philosophisches Seminar

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Ω = Df {Ω}
Aber das ist keine zulässige Definition, weil das Definiendum im Definiens wieder vorkommt.
Man könnte das Definiendum (im Unendlichen) zum Verschwinden bringen, wenn
man das Definiens für es einsetzte, und zwar unendlich viele Male. Dann, nach unendlich
vielen Schritten, blieben nur noch geschweifte Klammern übrig:
Ω = {Ω} = {{Ω}} = ... = {{{...}}}
Leider gibt es in unserer Sprache keine unendlich langen Ausdrücke. Man kann also Ω auf
diese Weise nicht definieren, wohl aber so:
Ω = diejenige Menge x mit: x = {x}
Aczel hat gezeigt, daß man sich keinen Widerspruch einhandelt, wenn man das Fundierungsaxiom
durch das Antifundierungsaxiom ersetzt. Wenn die übliche Mengenlehre widerspruchsfrei
ist, dann auch die ungewöhnliche Mengenlehre mit AFA.
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Ich mache diesen kleinen Ausflug in die Mengenlehre, um unsere analytischen Freunde „zum
Verstehen zu zwingen“ (mit Fichte zu reden). Wenn sie sagen, sie verstünden nicht, was mit
der Einermenge ihrer selbst gemeint sei, dann haben nicht wir ein Problem, sondern sie. Denn
nicht wir berufen uns auf formale Methoden, sondern sie. Und was die Einermenge ihrer
selbst ist, wird ja von Peter Aczel in glasklarer Mathematik erklärt.
Vielleicht werden unsere Freunde sagen, sie glaubten nicht an die Existenz der Einermenge
ihrer selbst. Das ist ihr gutes Recht. Sie dürfen sich gern gegen Aczel auf den Standpunkt des
Fundierungsaxioms stellen und behaupten:
Es gibt kein x mit: x = {x}
Die Frage, ob es Ω gibt oder nicht, können wir offenlassen. Darüber müssen sich die Mengentheoretiker
verständigen. Und sie werden vielleicht sagen: Man kann mit beiden Theorien
arbeiten, mit der fundierten Mengenlehre und mit der unfundierten Mengenlehre.
Wichtig ist nur folgendes: Alle Parteien verstehen, was die Einermenge ihrer selbst ist bzw.
was sie wäre, wenn es sie gäbe. Die Anhänger des Fundierungsaxioms behaupten ja:
Es gibt kein x mit: x = {x}
Und wer die Existenz von Ω verneint, muß wissen und verstehen, was er oder sie verneint.
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Die Mengenbildung (oder im Fall von Ω spezifischer die Einermengenbildung) ist eine Operation.
Sie operiert an einer Basis oder einem Operandum und liefert ein Resultat oder ein
Operatum. Es handelt sich also um einen Eingabe/Ausgabe-Mechanismus. In der Mathematik
ist dieser Mechanismus abstrakt, eben die Operation der Einermengenbildung, aber wir
können die Sache auch konkret machen, indem wir zum Beispiel an eine Kaffeemühle denken.
Oben werden die Kaffeebohnen eingegeben, und unten gibt die Mühle, wenn man sie in
Gang setzt, das Kaffeemehl aus.
[Tafelbild: Kaffeemühle mit Eingabe (Bohne) und Ausgabe (Mehl)]
Das ist eine ganz einfache Kaffeemühle für den Handbetrieb und nicht verstellbar. Wenn Sie
merken, daß Ihnen das Mehl zu grobkörnig ist, können Sie die Mühle nicht anders einstellen,
sondern lassen sie laufen und geben am Ende das grobkörnige Mehl noch einmal in die Mühle
ein und erhalten ein etwas feinkörnigeres Mehl, und das können Sie noch einmal und noch
einmal eingeben usw., bis es Ihnen langweilig oder fein genug wird.