Einführung in Hegels Logik - Philosophisches Seminar

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Über die Zahl hinaus kommen wir in der Mathematik einerseits im unbegrenzten Zählprozeß
und andererseits in der Infinitesimalrechnung.
Der Zählprozeß ist, als Progreß ins Unendliche, ein Beispiel für die schlechte Unendlichkeit.
Also muß sie ins Transfinite hinein übersprungen werden. Damit ist gegen Aristoteles, der
nur die schlechte, potentielle Unendlichkeit anerkannte, im Grunde schon Cantor vorweggenommen
(oder, genauer gesagt, im Logischen vorbereitet), der die aktuale Unendlichkeit in
die Mathematik eingeführt und in ihr fest verankert hat.
(Aber das stimmt andererseits auch wieder nicht. Denn dank Cantor wird in der Mengenlehre
der unendliche quantitative Progreß im Transfiniten einfach fortgesetzt; die Cantorsche aktuale
Unendlichkeit ist insofern keine wahre Unendlichkeit nach Hegelschen Maßstäben.)
Was das Infinitesimale, also das unendlich Kleine, betrifft, so gibt es auffälligerweise eine
gegenläufige Entwicklung in der modernen Mathematik. Bei Leibniz und Newton mußte es
als eine paradoxe, inkonsistente und dennoch aktuale negative Unendlichkeit anerkannt werden.
Warum? Was war so paradox und anstößig am Infinitesimalen? Daß es verschieden große
infinitesimale Größen gibt.
Nehmen Sie die lineare Gleichung y=2x. Ihre Steigung ist generell 2: y‘=2. Das heißt: In
jedem Punkt hat diese lineare „Kurve“ einen infinitesimalen Wertzuwachs längs der x-Achse
und längs der y-Achse. Diese unendlich kleinen Zuwächse sind die Differentiale der Kurve:
dx und dy. Aber der infinitesimale Zuwachs längs der y-Achse (d.h. dy) ist doppelt so groß
wie der infinitesimale Zuwachs längs der y-Achse (d.h. dx): dy/dx=2, also: dy=2dx. --- Oder
nehmen Sie die quadratische Gleichung y=x 2 . Hier gilt: dy/dx=2x. d.h.: dy=2xdx.
Aber Karl Weierstraß hat im 19. Jahrhundert die Analysis logisch aufgearbeitet und den Widerspruch
des aktual unendlich Kleinen behoben, indem er (sehr grob gesprochen) diese negative
Aktualunendlichkeit umdeutete in einen unendlichen Annäherungsprozeß an einen
Grenzwert.
Mathematisch war das die Lösung des Widerspruchs des unendlich Kleinen. Aber übertragen
auf die Ebene der spekulativen Logik wäre es ein Schritt in die falsche Richtung: vom aktualen
zum potentiellen Unendlichen bzw. vom wahren zum schlechten Unendlichen.
Allerdings läßt auch Hegel das Unendlichgroße und das Unendlichkleine nicht ohne weiteres
gelten. Sie sind, sagt er, „Bilder der Vorstellung, die bei näherer Betrachtung sich als nichtiger
Nebel und Schatten zeigen“ (WdL I 236). Die wahre Unendlichkeit im Quantitativen
ist demgegenüber das Quantum als Verhältnis zweier Quanta, zunächst das direkte Verhältnis
(der Bruch, die Proportionalität), dann das umgekehrte Verhältnis (die reziproke Proportionalität),
schließlich das Potenzenverhältnis:
Dazu Hegel:
Direktes Verh. y = px p = y/x
Umgek. Verh. y = p/x p = yx
Potenzenverh. y = x 2
“Das Unendliche, welches im unendlichen Progresse nur die leere Bedeutung eines
Nichtseins, eines unerreichten, aber gesuchten Jenseits hat, ist in der Tat nichts anderes
als die Qualität. […]
Ganz überhaupt: das Quantum ist die aufgehobene Qualität; aber das Quantum ist unendlich,
geht über sich hinaus, es ist die Negation seiner; dies Hinausgehen ist also an
sich die Negation der negierten Qualität, die Wiederherstellung derselben […]“ (WdL
I 238u).