Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

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und
k α α = 1.
Diese sind, wie bloßes Nachrechnen ergibt, in umgekehrter Reihenfolge ver-
antwortlich für die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der
Äquivalenzrelation. Daher können wir nach dem Satz von Godement [11, Seite
130] den Bündelraum mit der analytischen Quotientenstruktur ausstatten, um F
als Mannigfaltigkeit zu erhalten.
Die Bündelprojektion π : F −→ M sende eine Äquivalenzklasse [α, m, ξ] aus F auf
den Basispunkt m in M. Wir definieren dann lokale Trivialisierungen
ϕα : π −1 (Uα) −→ Uα × F, [α, m, ξ] ↦→ (m, ξ).
Diese sind wohldefiniert, da nach Definition der Äquivalenzrelation die Auswahl
des Indexes α bereits das Element ξ in F festlegt und m von ihr gar nicht berührt ist.
Zu ϕα gehört die Umkehrabbildung
ψα : Uα × F −→ π −1 (Uα), (m, ξ) ↦→ [α, m, ξ].
Da außerdem die F-Komponente der Trivialisierung durch einen Automorphismus
auf F beschrieben wird – hier ist das nur die Identität –, sind die Abbildungen
ϕα lokale Trivialisierungen. Wir haben noch zu zeigen, dass der Kozykel dann die
Gleichung
ϕβ ◦ (ϕα) −1 (m, ξ) = (m, k α
β (m)ξ)
auf Uα ∩ Uβ × F erfüllt, die die zu diesen Trivialisierungen gehörenden
Übergangsfunktionen definiert. Die linke Seite der Gleichung ist gegeben durch
ϕβ([α, m, ξ]) = ϕβ([β, m, kα βξ]) = (m, kα
βξ). Zu weiteren Erläuterungen der Grundbegriffe von Bündeln oder Mannigfaltigkeiten
sei hier zum Beispiel auf [4] verwiesen.
In dieser Arbeit werden die Begriffe holomorph und analytisch sowie manchmal
auch differenzierbar synonym im komplexen Sinn benutzt, da nur solche Situatio-
nen auftreten.
1.2 Hauptfaserbündel
1.2 Definition. Ein Hauptfaserbündel, auch Gruppenbündel oder K-Bündel, ist ein
Bündel, bei dem die Strukturgruppe K zugleich auch die Standardfaser darstellt.