Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

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3 Determinantenbündel
Für Vektorraumbündel lassen sich verschiedene Konstruktionen auf den Fasern
durchführen, aus denen neue Vektorbündel entstehen: zum Beispiel die Summe
zweier Fasern oder ihr Tensorprodukt. Ihre lokalen Trivialisierungen sind gerade
Summe und Tensorprodukt der gegebenen Trivialisierungen. Ebenso kann man ein
duales Bündel erklären, dessen Fasern die Dualräume der ursprünglichen Fasern
sind. Auch hier lassen sich auf natürliche Weise lokale Trivialisierungen angeben,
die wie die Tensorkonstruktion im Folgenden auch vorgeführt werden. Über ei-
ner endlich-dimensionalen Faser kann genau wie beim Tensorprodukt die höchste
äußere Potenz gebildet werden, die wir mit Det bezeichnen wollen. Das heißt
Det E = Λ dim E E.
Mit dem Determinantenbündel einer Mannigfaltigkeit ist eben diese Konstruktion
über dem Standardvektorbündel gemeint, das zu jeder differenzierbaren Mannig-
faltigkeit gehört, dem Tangentialbündel. Im Fall der Grassmann-Mannigfaltigkeit
muss aber nicht erst zu jedem Punkt ein Vektorraum künstlich hergestellt werden,
auf den dann das Det-Verfahren angewendet werden kann. Hier sind die Punkte
der Mannigfaltigkeit selbst schon Vektorräume, und man versteht unter dem De-
terminantenbündel das Bündel, das entsteht, wenn man die Det-Konstruktion auf
diese einzelnen Punkte anwendet. Die Faser eines Unterraumes in der Grassmann-
schen ist also seine eigene höchste äußere Potenz. Diese Definition ist allerdings nur
im endlich-dimensionalen Fall möglich. Wir werden aber – unter anderem durch
die homogene Beschreibung – Möglichkeiten finden, sie auf den hier betrachteten
unendlich-dimensionalen Fall zu verallgemeinern.
Der oben genannte Weg, lineare Verfahren auf lineare Fasern anzuwenden, braucht
aber auch bei der Konstruktion des Determinantenbündels über einer Grassmann-
Mannigfaltigkeit nicht verlassen zu werden. Denn die Grassmannsche trägt ein Vek-
torbündel, das gerade ihre Punkte aufsammelt und als Fasern nebeneinanderstellt,
das Tautologische Bündel. Bei der vorigen Erklärung des Determinantenbündels als
höchste äußere Potenz der Grassmann-Punkte ist zudem noch nicht gesagt, wie die
Fasern nebeneinander stehen: Wir haben noch lokale Trivialisierungen zu definie-
ren. Allerdings ist erst einmal nicht ersichtlich, welche kanonische Art es dafür
geben soll. Diese Struktur bringt aber das Tautologische Bündel schon mit, so dass
es in der gesamten Theorie effizienter ist, dieselbe Arbeit nicht noch einmal zu