Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

24 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
2.3 Bemerkung. Jedes Kartengebiet UF in Gr E (B) ist bereits dicht. Nach der Be-
schreibung (2.4) von UF liegen genau diejenigen Unterräume W nicht in UF, für
welche der Kern der Projektion, das ist W ∩ F, nicht trivial ist. Diese Bedingung de-
finiert eine echte Untermannigfaltigkeit von Gr E (B). Ihr Komplement UF ist daher
dicht.
2.4 Bemerkung. Eine Überdeckung von Gr E (B) ergibt sich schon für die Auswahl
derjenigen Kartengebiete UF, für die F Komplement von E ist.
2.5 Satz. Die Karten L(E, F) für komplementäre Unterräume E und F von
B machen Gr(B) zu einer analytischen Mannigfaltigkeit mit sogar rationalen
Übergangsfunktionen
wenn wir mit
1B =
z ′ = (c + dz)(a + bz) −1 , (2.6)
� �
a b
: E ⊕ F −→ E
c d
′ ⊕ F ′
die Matrix der Identität auf B bezüglich der beiden Zerlegungen bezeichnen.
(2.7)
Beweis. Trivialerweise überdecken diese Karten die ganze Grassmannsche, da für
E ∈ Gr(B) nach Definition ein komplementäres F existiert und E dann natürlich im
Kartengebiet zu L(E, F) selbst liegt, nämlich als Graph der Nullabbildung. Sei nun
W ∈ Gr(B) der Graph von sowohl z ∈ L(E, F) als auch von z ′ ∈ L(E ′ , F ′ ). Dann
gilt nach der obigen Vereinbarung (2.7)
� � � �
a b 1
=
c d z
� �
a + bz
.
c + dz
Da aber die Zerlegung von W in E ′ - und F ′ -Anteile eindeutig ist, muss c + dz =
z ′ (a + bz) sein. Nun ist aber
a + bz = pr W
E ′
� a b
c d
� � �
1
z
= pr W
E ′ ◦(prWE
)−1
Isomorphismus und daher z ′ = (c + dz)(a + bz) −1 . Also ist der Kartenübergang eine
rationale Funktion auf der Überlappung
UF ∩ UF ′ = Graph({z ∈ L(E, F) : a + bz invertierbar}) (2.8)
der beiden Karten. Da dieser Kartenausschnitt offen ist in L(E, F), wird Gr(B) mit
der durch die Kartengebiete erzeugten Topologie zu einer analytischen Mannigfal-
tigkeit.