Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

4 0 EINLEITUNG
Diese Darstellung ist für die Untersuchung äußerst nützlich, da erstens die Mannig-
faltigkeit jetzt bis auf Äquivalenz bezüglich K beinahe eine Gruppenstruktur besitzt
und sie zweitens eine Gruppenaktion trägt, die es ermöglicht, lokale Situationen
einfach zu translatieren. So ist oft überhaupt nur eine lineare Untersuchung nötig,
nämlich in den Karten.
Der Großteil der vorliegenden Arbeit ist daher auch der homogenen Beschrei-
bung aller auftretenden Räume gewidmet, das heißt ihrer Darstellung als Quoti-
ent aus einer Liegruppe. So kann auch das Determinantenbündel als Assoziier-
tes Geradenbündel zu dem Gruppenbündel beschrieben werden, unter dem die
Grassmann-Mannigfaltigkeit homogen ist. In dieser Form können dann die holo-
morphen Schnitte besonders einfach beschrieben werden. Im Aufbau der Arbeit ist
jedem dieser Objekte ein eigenes Kapitel gewidmet.
Im ersten Kapitel wird die Theorie der Hauptfaserbündel und ihrer Assoziierten
Bündel ausgeführt, soweit sie für die Untersuchung relevant ist. In verschiedenen
Abschnitten werden genau die Strukturen behandelt, die die Objekte später auf-
weisen: Allgemeine Hauptfaserbündel sowie solche mit eigener Gruppenstruktur,
Assoziierte Bündel und schließlich holomorphe Schnitte.
Damit ist das zweite Kapitel bereits festgelegt auf die Beschreibung der Grassmann-
Mannigfaltigkeiten. Wie schon in diesem Plural anklingt, werden Schritt für Schritt
verschiedene Grassmannsche beschrieben mit dem Ziel der Hilbert-Schmidt-Res-
tringierten. Sie besitzt ein Determinantenbündel, welches eng zusammenhängt mit
der Fredholm-Determinante für Operatoren, deren Abweichung von der Identität
nur Spurklasse ist. Die Hilbert-Schmidt-Grassmannsche teilt aber viele Eigenschaf-
ten mit allgemeiner beschreibbaren Versionen, welche in physikalischen Theorien,
die nicht mehr nur toy model sein sollen, auch wirklich benötigt werden [5, Kapitel
6]. Die Strategie wird sein, möglichst wenig spezielle Eigenschaften zu verwenden,
wodurch viele Argumentationen übersichtlicher werden als in der Literatur. Für die
Hilbert-Schmidt-Grassmannsche konstruieren wir dann eine transitive Gruppenak-
tion, die ” determinantenfähig“ ist.
Das zugehörige Determinantenbündel soll dann im dritten Kapitel konstruiert wer-
den. Hier wird die Struktur der Untersuchung bestimmt von der Rechtfertigung ei-
ner abstrakten Definition des Determinantenbündels, bei der mit dem Det-Konstrukt
als oberste äußere Potenz der Fasern der geometrische Aspekt in der zugehörigen
Aktion der Strukturgruppe verschwindet. Dies hat aber zwei Vorteile: Zum einen