Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

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die Spin-Gruppe, die Strukturgruppe des gesuchten Spinoren-Bündels, auf dessen
Fasern der Dirac-Operator wirken wird.
Betrachten wir daher zuerst Operatoren direkt auf dem Fockraum. So spielen die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in den bisherigen Untersuchungen und
Ergebnissen eine wesentliche Rolle bei der Beschreibung des Dirac-Operators oder
seiner Entsprechung auf den Ghost-Fermionen. Gleiches gilt auch für weitere Ope-
ratoren, etwa vom Hamilton-Typ. Man vergleiche dazu vor allem [12], Abschnitt 8.
Diese Formeln bleiben größtenteils algebraisch. Demgegenüber bietet die im vor-
angegangenen Kapitel konstruierte Einbettung in den Raum der L 2 -holomorphen
Det # -Schnitte eine Brücke zu einer analytischen Beschreibung.
Die Erzeuger b ∗ und Vernichter b werden wie üblich definiert durch Multiplika-
tion und Kontraktion. Zu Berücksichtigen ist allerdings die Zerlegung von H in
H+ ⊕ ¯H−, welche auf zwei getrennte Definitionen jedes der beiden Operatoren führt
- am leichtesten auf der Orthonormalbasis. So haben wir zum Beispiel für den Er-
zeugungsoperator b ∗ und m ∈ N
b ∗ (m)eP = em ∧ eP = e{m}∪P
(5.2)
in dem Fall, dass P nicht m enthält, sonst null. In dieser Form sehen wir, dass die
Wirkung der Erzeuger und analog der Vernichter genau zu der Strukturierung der
angegebenen Einbettung
eP ∧ eQ ↦→ φ PQ
passt. Eine Transformierte b∗ (m)eP ∧ ēQ gehört zu dem holomorphen Schnitt φP′ Q ′
,
wobei P ′ und Q ′ die alten Indexmengen seien mit der einzigen Veränderung der
Aufnahme von m an der passenden Stelle. Ist m bereits in P ∪ Q enthalten, so setzen
wir P ′ und Q ′ leer. Um herauszufinden, welche Wirkung der Erzeuger in der For-
mulierung der Schnitte statt der Produkte hat, haben wir nun zu untersuchen, wie
sich φP′ Q ′
und φPQ unterscheiden. Dazu beobachten wir folgenden Zusammenhang,
der auf der Definition der Schnitte als φ PQ (g) = det a(t PQ g) mit einem Permutati-
onsoperator t PQ beruht. Es gilt
b ∗ (m)φ PQ = (t P′ Q ′
PQ )∗ (φ PQ ) (5.3)
mit t P′ Q ′
PQ = (tPQ ) −1 t P′ Q ′
. Denn wir haben φ P′ Q ′
(g) = φ PQ ((t PQ ) −1 t P′ Q ′
g). Diese Formel
ist aber noch nicht ausreichend, da die Funktion (t •
•) ∗ noch von den Indexmengen
P, Q ihres Arguments abhängt. Möglicherweise bietet stattdessen die lokale Darstellung
φ PQ
σ der Schnitte aus (4.16) einen Zugang zu einer Beschreibung, die nur