Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

44 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
Stellvertretend soll hier nur der allgemeine Fall der Grassmannschen über einem
Banachraum B diskutiert werden. Alle Ergebnisse übertragen sich dann in offen-
sichtlicher Weise auf die spezielleren Grassmann-Mannigfaltigkeiten.
Zuerst beobachten wir, dass es genügt, beide Strukturen nur über einem einzigen
Kartengebiet zu untersuchen, welches nämlich an jeden anderen Punkt translatiert
werden kann wegen der Linksoperation der Gruppe GL 1 (B) auf dem Quotienten.
Das gilt zumindest für die Kartenstruktur. Für die Trivialisierungen des Bündels
reicht das aber ebenso, weil nach (1.12) die Beziehung kσg(gp) = kσ(p) zwischen
einer Trivialisierungskomponente und ihren Translationen besteht.
2.43 Proposition. Unter der obigen Identifizierung (2.24) der Grassmann-Man-
nigfaltigkeit Gr E (B) mit GL 1 (B)/K, bei der ein Element gK des Quotienten mit
dem Bildraum gE gleichgesetzt wird, sind die Kartengebiete UF, die Graphen von
L(E, F), gegeben durch
UF = {gK : g =
� �
a b
∈ GL
c d
1 (B), a ∈ GL(E), d − ca −1 b ∈ GL(F)}. (2.25)
Wir fixieren ein F und schreiben U für UF. Die Kartenabbildung z : U −→ L(E, F)
selbst wird nun zu � �
a b
K ↦→ ca
c d
−1
mit der Umkehrabbildung
z ↦→
� �
1 0
K.
z 1
Für die lokalen Trivialisierungen, die die K-Bündel-Struktur beschreiben, lässt sich
auf natürliche Weise ein Schnitt σ ∈ O(UF, GL 1 (B)) angeben durch
� �
a b
K ↦→
c d
�
1 0
ca−1 �
,
1
der dann die lokalen Trivialisierungen φg = (π, kσg ) über gUF induziert, wobei
kσ
� � �
a b a b
=
c d 0 d − ca−1 �
. (2.26)
b
Beweis. Wir wollen auch für den weiteren Gebrauch für z ∈ L(E, F) definieren
�
1
gz :=
z
�
0
∈ GL
1
1 (B). (2.27)