Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

4.2 Holomorphe Schnitte im dualen Determinantenbündel 69
ni < d. Außerdem sei an die Beobachtung im Beweis zu Proposition 4.2 erinnert,
dass für große Indizes i nur δ ni−d
j = δi j übrigbleibt. Die Grenze ist nach Lemma 4.6
gegeben durch rPQ = max P − d. Das bedeutet, dass a + bz selbst wieder in eine
Blockmatrix
a + bz =
� �
1 0
∗ α
zerfällt mit einer endlichen Matrix α vom Rang rPQ. Wir haben also die lokale
Darstellung des Schnitts reduziert auf die endliche Determinante det α und wollen
nun noch α in z ausdrücken. Seien dazu
R := {0, . . . , rPQ},
S := {i ∈ R : ni � d}.
Dann können wir die Matrix α beschreiben durch
⎛ ⎞
α = ⎜⎝
e nS −d
R
z nR\S −d
R
⎟⎠ ,
(4.15)
wobei eI J die Matrix bezeichne, die durch Auswahl der durch I indizierten Zeilen
und der durch J indizierten Spalten der Einheitsmatrix vom Rang rPQ entsteht. Ana-
log werden in der unteren Hälfte entsprechende Zeilen und (dieselben) Spalten von
z ausgewählt. Durch eine Permutation der Spalten kann α schließlich auf die Form
� 1|S |
0
∗ z nR\S
�
−d
R\(nS −d)
gebracht werden. In der oberen Hälfte kommen die Zeilen nS − d vor. Um eine
Einheitsmatrix als Block zu erzeugen, müssen die Spalten mit derselben Indexmen-
ge auf die linke Seite verschoben werden. Die übrigen bilden die rechte Seite, wo
in der oberen Hälfte jetzt nur noch Nullen vorkommen. Das sind die angegebenen
Spalten R \ (nS − d). Damit gelangen wir schließlich zu folgendem Ergebnis.
4.10 Satz. Ein Schnitt φ PQ hat unter der Identifikation von lokal trivialem Bereich
und Kartengebiet die holomorphe lokale Darstellung
φ PQ
σd (z) = ± det�z nR\S −d �
R\(nS −d)
(4.16)
auf der Komponente vom Typ d = |P| − |Q|. Dabei ist zI J die Matrix mit den Zeilen
I und Spalten J von z. R enthält die Indizes 0, . . . , rPQ = max P − d und S deren
Auswahl i, so dass ni < d ist.