Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

30 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
Wiederum klar ist die Äquivalenz von (2) und (3), da nach Definition codim ran z =
dim F/ ran z = dim coker z gilt.
Unter Voraussetzung von (3) erhält man Zerlegungen E = E1 ⊕ ker z und F =
ran z ⊕ F1, wobei ker z und F1 endlichdimensional und
z � � �
�E1 : E1 −→ ran z
ein Isomorphismus ist [9]. Dann ist mit w := (z � �
�E1)
−1 ⊕ 0F1 ∈ L(F, E) sowohl w ◦ z =
1E1 ⊕0ker z = 1E +u für u := 0E1 ⊕−1ker z ∈ F (E) als auch z◦w = 1ran z ⊕0F1 = 1F +u ′
für u ′ := 0ran z ⊕ −1F1
∈ F (F).
2.15 Lemma. Wie bei den üblichen Fredholm-Operatoren hat man
FredI(E, F) + I(E, F) = FredI(E, F).
Beweis. Zu z ∈ FredI(E, F) exisitiert w ∈ L(F, E), so dass z ◦ w ∈ 1F + I(F)
ist. Dann ist aber wegen der Idealeigenschaft von I auch � z + I(E, F) � ◦ w ⊂
1F + I(E, F) + I(E, F) = 1F + I(E, F). Gleiches Argument gilt für die linksseitige
Parametrix.
2.16 Lemma. Ist I ⊳ J ein Unterideal, so gilt für das Produkt
FredI(F, G) ◦ FredJ(E, F) ⊂ FredJ(E, G).
Beweis. Zu z ∈ FredI(F, G) und z ′ ∈ FredJ(E, F) seien w ∈ L(G, F) und w ′ ∈
L(F, E) die jeweiligen Umkehroperatoren modulo I und J. Dann ist die Parametrix
zu dem Produkt z ◦ z ′ gegeben durch w ′ ◦ w, denn (w ′ ◦ w) ◦ (z ◦ z ′ ) ∈ w ′ ◦ � 1F +
I(F) � ◦ z ′ ⊂ 1E + J(E) + I(E) = 1E + J(E) und analog auf der anderen Seite.
2.3.2 Die restringierte Grassmannsche und die restringierte Gruppe
Nun steht das Werkzeug bereit, um mittels eines Ideals I ⊳ L die Grassmann-Man-
nigfaltigkeit weiter zu verkleinern. Wir gehen aus von einer fest gewählten Zerle-
gung B = B+ ⊕ B− unseres Banachraumes.
2.17 Definition. Die Grassmannsche der von B+ nur um I abweichenden Un-
terräume von B sei bestimmt durch
GrI(B) := {W ∈ Gr(B) : pr W + ∈ FredI(W, B+), pr W −
∈ I(W, B−)},
wobei mit pr W ± die Projektionen auf B± eingeschränkt auf W gemeint sind.