Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

4.1 Der Fockraum 61
globalen Det # -Schnitt φ0 auf der Grassmannschen erhalten. Wie wir sehen werden,
ist der Raum der holomorphen Schnitte
O(Gr2(H), Det # ) := O � Gr2(H), Det # (Gr2(H)) �
(4.4)
ein unendlich-dimensionaler Vektorraum. Er enthält eine dichte Einbettung des
Fockraumes, den wir zuerst beschreiben und in eine handhabbare Form bringen
wollen, bevor wir die Einbettung konstruieren.
4.1 Der Fockraum
Unter dem Fockraum versteht man in der Physik den Phasenraum eines quantisier-
ten Lagrange-Funktionals. Eine klassische Langrange-Funktion beschreibt die Teil-
chen einer physikalischen Theorie als ihre Extrema – ein wenig verkürzt die Null-
stellen ihrer Ableitung. Auf diese Weise erhält man einen Hilbertraum H. Quan-
tisieren der Lagrange-Gleichung entspricht im Fermionen-Fall dem Übergang zur
äußeren Algebra
ΛH =
�
Λ p H.
Genauer gesagt, erhält man den fermionischen Fockraum
ˆΛ(H+ ⊕ ¯H−) = Λ(H+) ˆ⊗Λ( ¯H−),
wobei H zerlegt wird in die Zustände positiver und negativer Energie H±. Im
Bosonen-Fall ergibt sich eine Summe aus Symmetrischer Algebren, die aber hier
keine Rolle spielt.
Auf natürliche Weise trägt die äußere Algebra eines Hilbertraumes H ein inneres
Produkt, unter dem die Komponenten Λ p (H) orthogonal sind. Innerhalb einer sol-
chen Komponente ist es gegeben durch
〈h0 ∧ · · · ∧ hp−1|h ′
0 ∧ · · · ∧ h′ p−1 〉 = det(〈hi|h ′ j〉). (4.5)
4.1 Satz. Ist {e j : j ∈ Z} eine Orthonormalbasis des Hilbertraumes H, so ist durch
die Vektoren
eP := e j0 ∧ · · · ∧ e jp−1
für P = { j0, . . . , jp−1} mit j0 < · · · < jp−1 ein maximales Orthonormalsystem in ΛH
gegeben.