Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

40 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
2.34 Proposition. Die Gruppe G 0 operiert transitiv auf der Zusammenhangskom-
ponente Gr 0
2 (H) der Unterräume vom Index 0.
Beweis. Für g ∈ G0 � �
a b
, g = ist α = a − 1 ein Spurklasse-Operator auf H+
c d
und daher ind(a) = ind(1 + α) = ind(1) = 0. Nach Proposition 2.16 erhalten wir
ind(gW) = ind(a) + ind(W) = ind(W) = 0 für W ∈ Gr 0
2 (H). Umgekehrt haben wir
ein Element g ∈ G0 zu finden, welches H+ auf W ∈ Gr 0
2 (H) abbildet. Definieren wir
W0 := ker pr W + ⊏ W und H1 := ran pr W + ⊏ H+ und bezeichnen wir mit W1 := W ⊥W
0
und H0 := H ⊥H+
1
die Komplemente in W beziehungsweise H+, so erhalten wir einen
Isomorphismus pr W1
+ : W1
�
−→ H1 und wegen ind(W) = 0 auch q : H0
�
−→ W0
als irgendeinen Isomorphismus der beiden endlich-dimensionalen Räume gleicher
Dimension. Setze nun
und
w = q ⊕ (pr W1
+ ) −1 �
: H0 ⊕ H1 = H+ −→ W
v = q −1 ⊕ 1 : W0 ⊕ W ⊥H−
0
= H− −→ H.
Beachte dabei, dass W0 als Kern der eingeschränkten orthogonalen Projektion im
vollen Kern H− enthalten ist. Setze außerdem
� �
a b
g = := w ⊕ v.
c d
Dann ist a = pr + ◦w = 0H0 ⊕ 1H1 = 1H+ − pr H0
von der Form 1 plus Spurklasse,
sogar 1 plus endlichem Rang, und genauso d = pr− ◦v = 0W0 ⊕ 1W ⊥H− . Außerdem
0
hat b = pr + ◦v = q −1 ⊕ 0 W ⊥ H−
0
endlichen Rang, ist also Hilbert- Schmidt, und auch
c = q ⊕ pr W − ◦(prW1
+ ) −1 ist Hilbert-Schmidt, da es bereits pr W +
Rang hat. Weiterhin wirkt g bijektiv auf H, nämlich durch
gH = wH+ + vH− = W ⊕ (H0 ⊕ W ⊥H−
0 ),
ist und q nur endlichen
was auch ganz H ergibt, denn unter Anwendung von id = pr + + pr − schreibt sich
dieser Raum als (H1+H0)+(W0+W ⊥H−
0 ) = H++H− = H. Damit gehört g tatsächlich
zu G0 und nach Konstruktion gilt gH+ = wH+ = W.
Durch Translationen von G 0 erhält man dann eine auf der vollen Grassmannschen
GrI(H) transitiv operierende Gruppe. Wir wählen dazu wieder eine feste Ortho-
normalbasis (e j) von H mit Indizes j ∈ Z, so dass H+ von den Vektoren e j mit