Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

38 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
ebenfalls unendlichdimensionalen Räume anwendet. Damit wird durch g := w ⊕ w ⊥
ein unitärer Operator auf H definiert, der H+ auf W abbildet. Um zu zeigen, dass er
auch zu GLI(H) gehört, schreiben wir g als die unitäre Matrix
� �
a b
g =
c d
mit den beiden Komponenten b und d von w ⊥ . Mit a ist auch a ∗ I-Fredholm, und es
exitiert eine I-Parametrix p ∈ L(H+) von a ∗ , also pa ∗ ∈ 1+I(H+). Wegen Unitarität
von g ist aber auch a ∗ b + c ∗ d = 0 und daher gilt (1 + I(H+))b ∋ pa ∗ b = −pc ∗ d oder
anders ausgedrückt b ∈ −pc ∗ d − I(H+)b ⊂ I(H−, H+). Damit ist g schließlich I-
unitär, weshalb die Operation wirklich transitiv ist.
Die Aussage über den Stabilisator ergibt sich einfach aus der Tatsache, dass die
Operation von UI(H) die Einschränkung der Operation von GLI(H) ist und daher
StabUI(H)(H+) = StabGLI(H)(H+) ∩ UI(H)
sein muss. Direkt ergibt sich dasselbe aber auch aus der Beobachtung, dass wegen
Unitarität � �
1 0
=
0 1
� a ∗ 0
b ∗ d ∗
� � �
a b
=
0 d
�
∗ a a ∗ a b
b∗a d∗ �
d
ist und damit a ∗ a = 1 sowie d ∗ d = 1 und a ∗ b = 0 gilt. Das bedeutet aber, dass a und
d sogar unitär sind und infolgedessen schon b = 0 war.
2.3.4 Die Hilbert-Schmidt-Grassmannsche
Wir wollen uns ab jetzt auf das Ideal I2 der Hilbert-Schmidt-Operatoren kon-
zentrieren und schreiben kurz Gr2(H) und GL2(H). Dieses Ideal verkleinert die
Grassmann-Mannigfaltigkeit gerade so, dass sie trotz unendlicher Dimension auf
natürliche Weise ein Determinantenbündel zulässt. Um dieses später als homoge-
nes Bündel behandeln zu können, wollen wir die operierende Gruppe reduzieren
auf eine Untergruppe G, die immer noch transitiv operiert, so dass wir mit dem
Stabilisator K = StabG(H+) schließlich
als homogene Mannigfaltigkeit erhalten.
Gr2(H) = G/K
2.32 Bemerkung. Der Begriff der Determinante kann weiter verallgemeinert wer-
den, so dass sich auch für andere Schatten-Ideale I2p ein Determinantenbündel über