Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

4.2 Holomorphe Schnitte im dualen Determinantenbündel 63
Unter dem Fockraum sei hier immer die Vervollständigung der äußeren Algebra
über H+ ⊕ ¯H− verstanden.
4.2 Holomorphe Schnitte im dualen Determinantenbündel
In diesem Abschnitt geben wir einen Beweis des folgenden Hauptsatzes dieser Ar-
beit durch eine explizite Konstruktion von Schnitten.
4.4 Theorem. Es gibt eine Einbettung
Φ : ˆΛ(H+ ⊕ ¯H−) ↩→ O(Gr2(H), Det # ) (4.7)
des Fockraumes in den Raum der holomorphen Schnitte im dualen Determinan-
tenbündel über der Hilbert-Schmidt-Grassmannschen Gr2(H) zur Orthogonalzerle-
gung H = H+ ⊕ H−. Das Bild dieser Einbettung ist der dichte Unterraum
Φ � ˆΛ(H+ ⊕ ¯H−) � = O 2 (Gr2(H), Det # ), (4.8)
der Bergmannraum der quadratintegrierbaren holomorphen Schnitte bezüglich ei-
nes geeigneten Maßes auf Gr2(H).
4.5 Bemerkung. Nach Pickrell [6] schlägt die naheliegende Definition fehl, ein
inneres Produkt durch Integration über die lokalen inneren Produkte φ ¯φ ′ des her-
miteschen Bündels Det # zu erhalten. Er konstruiert statt dessen eine Familie von
Zylindermaßen µs, so dass das innere Produkt, gegeben durch
〈φ|φ ′ �
φ ¯φ
〉 =
′
dµ1,
|φ0| 2
mit dem von der Einbettung Φ induzierten inneren Produkt übereinstimmt. Dabei ist
φ0 der in (4.3) angegebene holomorphe Schnitt von Det # . Bezüglich dieses Maßes
ist die Quadratintegrierbarkeit im Theorem zu verstehen. Dieses Resultat soll hier
nur zitiert werden.
Wir wenden uns nun der Konstruktion der Einbettung Φ zu. Nach Korollar 4.2 ist
eine Orthonormalbasis des Fockraums ˆΛ(H+ ⊕ ¯H−) gegeben durch die Vektoren
ePQ := eP ∧ ēQ für endliche Indexmengen P natürlicher Zahlen und endliche Men-
gen Q negativer ganzer Zahlen. Um die Notation eingängiger zu machen, schreiben
wir Z+ für N und Z− für Z \ N. Dann indiziert Z± gerade die Basis von H±. Wir