Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

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finden. Denn erstens ist die Struktur des Bündels im dualen Fall unübersichtlicher
und zweitens braucht dann nur wieder das allgemeine Konstruktionsprinzip auf den
Fasern herangezogen zu werden.
Zu einer solchen verallgemeinerbaren Beschreibung gelangt man bereits, wenn man
berücksichtigt, dass Det E nur eindimensional ist. Dann gibt es nämlich einen ka-
nonischen Isomorphismus
L(Det E) = C,
der 1Det E mit 1C identifiziert. Betrachten wir die oben behandel-
ten Übergangsfunktionen k F F ′ als C × -wertig unter dieser Identifikation
GL(Det E) = GL(C) = C × , so induzieren sie nach Satz 1.1 ein zum beschriebenen
Determinantenbündel Det(Gr E (B)) isomorphes Bündel mit Standardfaser C statt
Det E.
3.4 Bemerkung. Dieser Prozess spiegelt sich darin wider, die Faser Det E selbst mit
C zu identifizieren – zwar nicht mehr kanonisch, doch zumindest auf eine natürliche
Weise, wie kurz eingeschoben werden soll.
Wir konstruieren neue lokale Trivialisierungen
ϕF : π −1 (UF) −→ UF × C, (W, ∧ jζ j) ↦→ (W, det(pr F E ζ0, . . . , pr F E ζn−1)),
wobei wir (ζ0, . . . , ζn−1) als Isomorphismus C n −→ W auffassen, der (λ0, . . . , λn−1) ab-
bildet auf � λ jζ j. Außerdem identifizieren wir den – gewissermaßen – Mittelpunkt
E von UF mit C n über irgendeine Basis e0, . . . , en−1 von E und die Standardbasis
von C n . Dann ist det hier gemeint als die Determinante der n × n-Matrix mit den
Spalten prF E ζ j. Die inverse Abbildung ψF ist bestimmt durch
ψF(W, λ) = (W, λ ∧ j pr F �
�
E�
−1
W e j).
Dies führt wie gewünscht zu den alten Übergangsfunktionen
λ ↦→ det(pr F′
E prF �
�
E�
−1
W (λe0), pr F′
E prF �
�
E�
−1
W e1, . . . , pr F′
= det(pr F′
E prF �
�
E�
−1
W )λ det(e0, . . . , en−1)
= k F F ′(W)λ.
�
�
E prFE � −1
W en−1)
Der homogene Zugang wird eine einfachere Möglichkeit zu Verfügung stellen, das
Determinantenbündel auf unendliche Dimensionen zu erweitern. Wir haben das De-
terminantenbündel abstrakt über das Tautologische Bündel definiert und haben zu-
gleich für dieses bereits eine homogene Beschreibung vorliegen. So möchten wir