Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

3.4 Das Hilbert-Schmidt-Determinantenbündel 59
3.9 Definition. Das Determinantenbündel über der Hilbert-Schmidt-Grassmann-
schen ist das Assoziierte Geradenbündel
Det � Gr2(H) � := G× K C (3.23)
mit der Operation von K auf der Faser C, die für k ∈ K gegeben ist durch die
komplexe Multiplikation mit det a(k).
Analog zu Korollar 3.8 erhalten wir nach Satz 3.7 folgenden
3.10 Satz. Das duale Determinantenbündel über der Hilbert-Schmidt-Grassmann-
schen ist gegeben als
Det � Gr2(H) � # := G×K C (3.24)
mit der K-Operation auf C, in der k ∈ K wie die Multiplikation mit det a(k) −1 wirkt.
3.11 Bemerkung. Blicken wir noch einmal zurück auf diese Konstruktion des De-
terminantenbündels, so ist zu sehen, dass die Problematik der unendlichen Dimen-
sionen weg vom Det-Konstrukt auf den schon gelösten Fall einer Operator-Deter-
minante det verschoben wurde. Dieser Weg wird durch die homogene Beschreibung
erleichtert, da sich dort die Faser besonders klar herauskristallisiert: Die einzelnen
Fasern sind gerade über die Standardfaser definiert. Und die relevante Komponente
der Trivialisierungen wirkt wie die Übergangsfunktionen als Element der Struktur-
gruppe auf der Standardfaser. Das heißt in (1.13) k F σ[p, ξ] = kσ(p)ξ mit den Be-
zeichnungen des ersten Kapitels.
Die Vorteile des homogenen Zugangs zeigen sich aber noch deutlicher in der fol-
genden Untersuchung der Schnitte, der das nächste und zentrale Kapitel gewidmet
ist.