Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

5 Operatoren
Ursprünglich war die Idee der Themenstellung dieser Arbeit, eine explizite Formel
für den Dirac-Operator in der bekannten Gestalt
/D = ¯∂ + ¯∂ ∗
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(5.1)
im Kontext der holomorphen Schnitte zu finden. Um genau zu sein, könnte der
Dirac-Operator eine solche Summe eines geeigneten echten Ableitungsoperators
auf den Punkten z (einer Karte) der Grassmannschen sein. Zwar besteht dabei das
Problem, dass es sich um holomorphe Schnitte handelt und daher ein ¯∂-Operator
nur trivial operieren würde. Doch bestand die Vermutung, dass dies durch die
Dualbildung ausgeglichen wird, die eng mit der komplexen Konjugation zusam-
menhängt. Eine solche Formel findet Wiesbrock in [12, Abschnitt 8]. Es wären
nur die dort in physikalischen Begriffen angegebenen Summanden genauer zu be-
stimmen. Allerdings beschreibt diese Formel nicht den Dirac-Operator, sondern
einen von ähnlichem Typ auf den sogenannten Geist-Fermionen. Diese werden ein-
geführt, um die unphysikalischen Freiheitsgrade eines mathematischen Modells zu
absorbieren.
Grundsätzlich ist jedoch nicht klar, inwiefern man einen Dirac-Operator auf dem
Fockraum und dann auf den holomorphen Schnitten erhält. Der Dirac-Operator lebt
auf Spinoren. Und um die Zusammenhänge zu verstehen, wäre wie im endlich-
dimensionalen Fall ein Spinoren-Bündel zu konstruieren, nur auf der unendlich-
dimensionalen Grassmannschen. Dies erfordert eine Verallgemeinerung der Spi-
noren-Konstruktion, da die restringierte orthogonale Gruppe O2(H) keine Dop-
pelüberlagerung mehr besitzt, die als Spin-Gruppe fungieren kann [5]. Eine solche
verallgemeinerte Konstruktion eines Spinoren-Bündels liegt jedoch außerhalb des
Rahmens dieser Arbeit.
So wollen wir uns hier darauf beschränken, einen ersten Schritt in die Richtung der
ursprünglichen interessanten Idee anzudeuten und anhand der erzielten Ergebnisse
einen Ausblick auf die weiteren Möglichkeiten zu geben, die die Resultate bieten.
Trotz des ungeklärten Zusammenhangs zwischen dem Dirac-Operator und dem
Fockraum kann man sofort sehen, dass dieser jedenfalls in einer engen Verbin-
dung mit dem Dirac-Operator steht. Der Fockraum oder die äußere Algebra ist eine
wichtige Darstellung der Clifford-Algebra. Die Clifford-Algebra wiederum enthält