Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

58 3 DETERMINANTENBÜNDEL
Beweis. Nach Satz 3.7 über das duale Bündel ist GL 1 (B)× K Det(E) # = � GL 1 (B)× K
Det E � # , was wir aber nach Korollar 3.6 mit Det(Gr E (B)) # identifizieren können.
Für die Wirkung von k ∈ K auf λ ∈ Det(E) # liefern die beiden Sätze auch die letzte
Behauptung, denn für ξ ∈ Det E gilt (kλ)ξ = λ(k −1 xi) = λ(det a −1 ξ) = det a −1 λξ,
also tatsächlich kλ = det a −1 λ.
3.4 Das Hilbert-Schmidt-Determinantenbündel
Wie wir in (3.16) und (3.22) gesehen haben, ist die Operation von K auf Det(E) und
Det(E) # nur durch � eine � skalare Multiplikation gegeben: Ein Element k ∈ K mit der
a b
Zerlegung k = wirkt durch Multiplikation mit det a im Fall von Det E und
0 d
mit det a −1 im dualen Fall Det(E) # . Dieses Resultat gibt uns die Möglichkeit, die
eindimensionalen Fasern Det E und Det(E) # durch C zu ersetzen. Das Assoziierte
Bündel
GL 1 (B)× K C
ergibt dann ebenfalls das Determinantenbündel, wenn wir die Gruppe K auf der
Faser C durch Multiplikationen mit det a(k) operieren lassen für k ∈ K, und das
duale Determinantenbündel bei der Multiplikation mit det a(k) −1 .
Diese Formulierung des Determinantenbündels ist nun frei von Endlichkeitsbedin-
gungen an E, da die Det-Konstruktion ausgeschaltet ist. Wir brauchen lediglich eine
Determinante der linken oberen Ecke a(k) ∈ GL(E) der Operatoren k aus K. Im Fall
der Hilbert-Schmidt-Grassmannschen Gr2(H) aus Abschnitt 2.3.4 reduzierte sich
die Gruppe G, unter der die Mannigfaltigkeit homogen ist, gerade auf Operatoren,
die eine solche Determinante besitzen: Sie sind von der Form 1 plus Spurklasse.
Diese Überlegungen auf der Basis der vorangegangen Abschnitte rechtfertigen die
folgende Definition. Wir benutzen die Bezeichnungen des Abschnitts 2.3.4. Insbe-
sondere seien
�
G = s d G 0 ⊏ GL2(H)
d∈Z
und G0 � �
a b
die Untergruppe aller Operatoren g in GL2(H) mit Matrixzerlegung
c d
bezüglich der festen Orthogonalzerlegung H = H+ ⊕ H−, so dass die Diagonal-
komponenten a und d eine Determinante besitzen. Dann ist der Stabilisator K der
transitiven G-Operation auf Gr2(H) enthalten in G 0 . Für k ∈ K hat also a(k) eine
Determinante.