Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

4.2 Holomorphe Schnitte im dualen Determinantenbündel 65
Um den Operator t PQ zu beschreiben, definieren wir eine entsprechende Umordnung
der ganzen Zahlen
(ni)i∈Z = (Z− \ Q, P; Q, Z+ \ P). (4.9)
Dabei sollen die Mengenelemente jeweils in ihrer natürlichen Reihenfolge auf-
gezählt werden, und zwar so, dass hinter dem Semikolon in der Mitte der Index
0 steht. Bezeichnen wir mit p und q die Mächtigkeiten von P beziehungsweise Q,
so heißt das zum Beispiel n0 = min Q, n−1 = max P und nq = min(Z+ \ P). Formal
exakt wäre, ni für i � 0 festzulegen durch die Beziehung Q = {n0, . . . , nq−1} und
Z+ \ P = {nq, nq+1, . . . } sowie der Forderung ni < ni+1.
Als wichtige Kennzeichnung der Mengen P und Q definieren wir
d := p − q. (4.10)
Abweichend von der üblichen Konvention max ∅ = −∞ wollen wir max P = −1
setzen, falls P leer ist – was dieselbe Funktion erfüllt, die folgenden Formeln jedoch
kürzer formulieren lässt. Entsprechend sei min Q = 0, wenn Q leer sein sollte.
4.6 Lemma. Ist i > rPQ := max P − d oder i < min Q + d, so gilt ni = i + d.
Beweis. Sei zuerst Q leer, also q = 0. Nach Konstruktion haben wir für i ∈ Z+ stets
ni = i+ p, sobald i > maxP− p ist. Und wenn wir eine beliebige Menge Q einfügen,
ergibt das eine entgegengerichtete Verschiebung um q. Das heißt ni = i + p − q falls
i > max P − p + q ist, also die Behauptung.
Sei nun t PQ der Operator auf H mit den Matrixeinträgen
(t PQ ) i j
:= δni
j
(4.11)
in Zeile i und Spalte j bezüglich der Orthonormalbasis ei. Dabei bezeichnen wir mit
δ i j
das Kronecker-Symbol.
Proposition. Der Operator t PQ s d gehört zu G 0 . Insbesondere gilt
t PQ G d ⊂ G 0 .
Beweis. Es ist (t PQ∗ t PQ )i j = � δink δnki = δi j und daher t PQ unitär. Damit ist das
Produkt t PQ s d invertierbar. Die Matrix des Shiftoperators s d ist gegeben durch die
Einträge (s d ) i j
= δi
j+d = δi−d
j . Wir berechnen damit
(t PQ s d ) i j =
�
δ ni
k δkj+d
= δni
j+d . (4.12)
k