Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

60 4 FOCKRAUM UND HOLOMORPHE SCHNITTE
4 Fockraum und holomorphe Schnitte
Wie in Proposition 1.28 gesehen, können wir Schnitte eines homogenen Bündels
G× K F aus äquivarianten Funktionen auf G mit Werten in der Faser F konstruieren.
Genauer ist zu einer Funktion ˜φ ∈ O(G, F) ein Schnitt φ ∈ O(G/K, G× K F) gege-
ben durch φ(gK) = [g, ˜φ(g)]. Dieser Ausdruck ist genau dann sinnvoll, wenn ˜φ die
Funktionalgleichung ˜φ(pk) = k −1 ˜φ(p) aus (1.19) erfüllt.
Im Fall des Determinantenbündels G× K C = Det(Gr2(h)) # über Gr2(H) = G/K (siehe
(2.23) und (3.23)) lautet diese Bedingung an eine Funktion ˜φ ∈ O(G, C)
˜φ(gk) = det a(k) −1 ˜φ(g) (4.1)
für alle g ∈ G und k ∈ K. Diese Gleichung hat keine von null verschiedenen
Lösungen wegen des Exponenten −1. Eine Lösung der Form ˜φ(g) = det a(g) −1 ist
nicht möglich, da a(g) nicht für jedes g ∈ G invertierbar sein muss – während das
wegen der verschwindenden c-Komponente für die Elemente k ∈ K immer der Fall
ist.
Folglich ist nach Proposition 1.28 der Raum der holomorphen Schnitte im Determi-
nantenbündel trivial.
Lässt man den Exponenten weg, so erhält man die Äquivarianzbedingung
˜φ(gk) = det a(k) ˜φ(g) (4.2)
für das Assoziierte Bündel G× K C mit der K-Operation det a −1 auf C. Das ist nach den
Überlegungen des vorangegangenen Kapitels das duale Determinantenbündel über
der Grassmannschen. Diese Gleichung besitzt Lösungen. Eine erste können wir di-
rekt angeben, denn für die Determinante selbst gilt ja solch eine Produktformel.
Und wegen � � � �
a b p q
=
c d 0 s
� �
ap ∗
∗ ∗
ist a(gk) = a(g)a(k). Für g ∈ G 0 besitzt a(g) nach Definition eine Determinante und
wir setzen
˜φ0(g) := det a(g) (4.3)
für g ∈ G 0 und ˜φ0 := 0 auf den anderen Zusammenhangskomponenten G d = s d G 0
von G. Da K in G 0 enthalten ist, gilt G d K ⊂ G d G 0 ⊂ G d . Daher liegt gk in dersel-
ben Komponente wie g, weshalb ˜φ0 die Funktionalgleichung erfüllt und wir einen