Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

26 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
2.7 Proposition. Fixiert man eine Zerlegung B = E ⊕ F, so berechnet sich der
Stabilisator am Punkt E ∈ Gr E (B) zu
� �
a b
Stab(E) = { ∈ GL
0 d
1 (E ⊕ F)}, (2.12)
also Stab(E) = GL 1 (E) × L(F, E) × GL 1 (F).
� � � � � �
a b E aE
Beweis. Wegen
= sind einerseits solche Dreieckmatrizen
c d 0 cE
Stabilisator-Elemente und muss andererseits für g ∈ GL(E ⊕ F) mit gE = E bei
gleicher Matrixzerlegung schon gelten, dass c = 0 ist und a surjektiv. Dann ist aber
mit ax = 0 für ein x ∈ E auch gx = 0, weshalb schon x = 0 sein muss, da g
invertierbar sein sollte. Also ist a auch injektiv.
Mit a ist d ebenfalls invertierbar, denn für die Inverse
�
p
r
� �
q a
:=
s c
�−1 b
d
erhält man aus �
1
0
� �
0 p
=
1 r
� �
q a
s 0
� �
b pa
=
d ra
�
pb + qd
rb + sd
in der unteren Zeile r = 0 und damit sd = 1 und aus
� � � � � � �
1 0 a b p q ap
=
=
0 1 0 d 0 s 0
�
aq + bs
ds
schließlich auch ds = 1. Daraus ergibt sich die Zerlegung GL 1 (E) × L(F, E) ×
GL 1 (F), da dann für alle solche a, b und d die Dreickmatrix invertierbar ist, nämlich
mit � �−1 a b
=
0 d
� a −1 a −1 bd −1
0 d −1
Die jeweilige Zugehörigkeit zur 1-Komponente ist klar, da L(F, E) sogar zusam-
menziehbar ist.
Wir wollen im Folgenden von der a-Komponente eines Operators oder einer Ma-
trix sprechen und meinen damit immer die linke obere Ecke der Matrix bezüglich
einer Zerlegung wie oben. Analog werden die anderen Komponenten b, c und d
behandelt.
Für einen Hilbertraum H wird die Situation ein wenig überschaubarer. Hier ist jeder
abgeschlossene Unterraum W ⊏ H komplementär in H, nämlich mit dem orthogo-
nalen Komplement W ⊥ , und gehört somit zu Gr(H). Außerdem kann man sich bei
den Karten auf orthogonale Graphen beschränken, sprich L(W, W ⊥ ) für W ∈ Gr(H),
da die Kartengebiete zu L(E, F) in Gr(B) unabhängig von E waren.
�
.