Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

3.2 Das Determinantenbündel 51
Nehmen wir nun diese höchste äußere Potenz jeder Faser im Tautologischen
Bündel, so erhalten wir das Determinantenbündel
Det � Gr E (B) � = Det � Taut(Gr E (B)) � =
�
W∈Gr E (B)
{W} × Det W (3.12)
über der Grassmann-Mannigfaltigkeit Gr E (B). Nach den allgemeinen Prinzipien der
Bündelkonstruktion auf den Fasern beinhaltet diese Definition die Bündelprojektion
und die lokalen Trivialisierungen
π : Det(Gr E (B)) −→ Gr E (B), (W, ζ) −→ W
φF : π −1 (UF) −→ UF × Det E, (W, ζ) ↦→ (W, Det(pr F �
�
E�
)ζ).
W
Die Umkehrabbildung ψF lautet entsprechend
ψF(W, ξ) = (W, Det(pr F �
�
E�
−1
W )ζ) = (W, Det(prF �
�
E�
)
W −1 ζ).
Die letzte Gleichheit gilt dabei wegen der Funktorialität von Det.
Die Übergangsfunktionen werden, wie sich leicht ablesen lässt, unter der Det-Konstruktion
zu kF F ′(W) = Det(prF′ �
�
� −1
). Wendet man noch einmal die Funkto-
E ) Det(prF E W
reigenschaft von Det an, so lässt sich dies weiter berechnen zu
k F F ′(W) = Det(prF′
�
�
E prFE � −1
W
) (3.13)
für W ∈ UF ∩ UF ′. Für einen Graphen W = Ez von z ∈ L(E, F) ergibt das nach (3.4)
k F F ′(Ez) = Det(a + bz) = det(a + bz)1Det E, (3.14)
wobei a und b wie in 3.3 die E-Komponenten der Identitätsmatrix bezüglich der
beiden Zerlegungen sind. Hier bezeichnet det die Determinante für endlich-dimen-
sionale lineare Automorphismen.
Diese Beschreibung ist nicht geeignet für eine Verallgemeinerung auf unendliche
Dimensionen im Banachraum-Fall. In dieser Situation gibt es keine höchste äußere
Potenz und alle symmterischen Tensorprodukte Λ n B bleiben unendlich-dimensional
– geschweige denn, dass sie zu Geraden würden. Wir haben also das Det-Konstrukt
in der Definition des Bündels auszuschalten. Zwar brauchen wir die verallgemei-
nerte Konstruktion erst für das duale Determinantenbündel, das im nächsten Ab-
schnitt angegangen werden soll, doch wollen wir schon hier eine flexiblere Form