Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

4.2 Holomorphe Schnitte im dualen Determinantenbündel 67
Für die erste Eigenschaft können wir uns nach der obigen Bemerkung 4.8 auf
die schon geleistete Arbeit bei φ0 berufen. Denn es gilt ˜φ PQ (gk) = ˜φ0(t PQ gk) =
det a(k) ˜φ0(t PQ g) = det a(k) ˜φ PQ (g).
Wir zeigen nun zuerst die dritte Eigenschaft, die lineare Unabhängigkeit. Diese ist
eine direkte Konsequenz aus folgendem
4.9 Lemma. Für zwei Paare von Indexmengen P, Q und P ′ , Q ′ gilt
˜φ P′ Q ′
(t PQ∗ ) = δ P′ Q ′
PQ .
Hierbei sei δ P′ Q ′
PQ entsprechend dem Kronecker-Symbol definiert als 1 oder 0, je
nachdem ob die gestrichenen Indexmengen mit den ungestrichenen übereinstimmen
oder nicht.
Beweis. Es ist (tP′ Q ′
tPQ∗ ) i j = � δ n′ i
k δkn j = δn′ i
n j und daher gilt auch ˜φ P′ Q ′
(tPQ∗ ) =
det a(tP′ Q ′
tPQ∗ ) = det � (δ n′ i
n j )i,
�
j∈N . Dieser Term verschwindet, wenn in der Matrix
Nullzeilen stehen, das heißt, wenn n ′ N � nN. Nun stimmt aber nN = Q ∪ N \ P
genau dann mit n ′ N überein, wenn Q = Q′ und P = P ′ ist. Im Fall der Gleichheit
erhält man außerdem die Determinante der Einheitsmatrix, also 1.
Es bleibt die zweite Eigenschaft nachzuweisen, die Holomorphie. Wir haben die
holomorphe Funktion
I1(H+) −→ C, α ↦→ exp tr log(1 + α) = det(1 + α)
auf dem linearen Raum der Spurklasse-Operatoren. ˜φ PQ � �
ist nun die Verkettung die-
a b
ser Funktion mit der Projektion ↦→ a mit Operatornorm kleiner 1, einer
c d
Translation um −1 und der Multiplikation mit tPQ in der komplexen Liegruppe G:
g ↦→ t PQ g ↦→ a(t PQ g) − 1 ↦→ det a(t PQ g).
Das gilt auf der d-Komponente. Auf den anderen verschwindet die Funktion. Und
da es sich um Zusammenhangskomponenten handelt, ist ˜φ PQ und damit schließlich
der Schnitt φ PQ auf ganz G holomorph.
Der Beweis des Theorems ist damit abgeschlossen. Wir möchten nun die lokale
Darstellung der Schnitte φ PQ angeben. Dies wird noch einmal deutlicher ihre Holo-
morphie zeigen, da dabei nur die Determinante eines endlichen Matrix-Ausschnittes
übrigbleibt.