Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

48 3 DETERMINANTENBÜNDEL
für alle W ∈ UF ∩ UF ′ und ξ ∈ E, sind wegen der beinahe komponentenweisen
Zerlegung von ϕF gegeben als
Bezeichnen wir wieder mit
1B =
k F F ′(W) = prF′
E ◦(prF E
�
�
� )
W −1 .
� �
a b
: E ⊕ F −→ E ⊕ F
c d
′
(3.3)
die Matrix der Identität auf B bezüglich der beiden Zerlegungen, so können wir die
Übergangsfunktionen für den Graphen von z ∈ L(E, F) berechnen zu
k F F ′(Ez) = pr F′
E ◦(1 + z) (3.4)
� � � �
a b 1
= (1, 0)
(3.5)
c d z
= a + bz. (3.6)
Nachdem die übliche Beschreibung des Tautologischen Bündels vorgeführt ist, wol-
len wir nun eine homogene Version finden.
3.1 Proposition. Das Tautologische Bündel zu einem Banachraum B und einem
komplementären Unterraum E von B ist das Assoziierte Vektorbündel
Taut(Gr E (B)) = GL 1 (B)× K E (3.7)
mit Faser E zum Gruppenbündel GL 1 (B) über GL 1 (B)/K, wobei K die Untergruppe
der oberen Dreieckmatrizen bezüglich einer Zerlegung B = E⊕F ist. Diese operiert
auf E durch
kξ = aξ, (3.8)
� �
a b
wobei k = ∈ K sein soll und ξ ∈ E. Die Identifikation 3.7 der beiden Bündel
0 d
geschieht durch Gleichsetzen eines Elementes [g, ξ] von GL 1 (B)/K mit dem Element
(gE, gξ) von Taut(Gr E (B)).
3.2 Bemerkung. Wie Proposition 2.12 zeigt, spielt bei der Definition der Unter-
gruppe K die Wahl der Zerlegung B = E ⊕ F, bezüglich der die Dreiecksgestalt
vorliegen soll, keine Rolle. Eine andere Möglichkeit wäre danach auch, K als den
Stabilisator der GL 1 (B)-Aktion auf Gr E (B) zu definieren. In dieser Beschreibung
operiert K per definitionem auf E, da kE = E ist für alle k ∈ K. Allerdings ist k