Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

3.3 Das duale Determinantenbündel 57
wir λp(µ[p,λ])ξ = µ[p,λ][p, ξ] = λξ, das heißt [p, λp(µ[p,λ])] = [p, λ]. Und andererseits
gilt µ[p,λp(µ)][p, ξ] = λp(µ)ξ = µ[p, ξ], also auch µ[p,λp(µ)] = µ.
Um zu sehen, dass µ ein Bündelisomorphismus ist, haben wir außerdem zu zeigen,
dass das Diagramm
(πE) −1
# (Uσ) π(E # ) −1 ✛ (Uσ)
µ
Uσ × E #
(ϕE σ) #
❅
❅❅❅❅❘
ϕ (E# �
� )
� σ
��✠
kommutativ ist. Beginnen wir rechts oben. Für [p, λ] ∈ π(E # ) −1 (Uσ) ergibt der
kurze Weg ϕ (E# )
σ ([p, λ]) = [pK, k (E# )
σ ([p, λ])] = [pK, kσ(p)λ] nach (1.13). Über
den längeren Weg erhalten wir außerdem (ϕE σ) # ◦ µ([p, λ]) = � ϕE σ) # ((pK, µ[p,λ]) � =
� E pK, (kσ) # ((pK, µ[p,λ])) � . Es ist also zu bestätigen, dass die beiden zweiten Kompo-
nenten übereinstimmen. Zuvor bemerken wir, dass
(k E σ,pK) −1 ξ = [pK, kσ(p)ξ]
ist, denn k E σ([pK, kσ(p) −1 ξ]) = kσ(p)kσ(p) −1 ξ = ξ. Wenden wir damit die zu-
letzt angegebene Komponente an auf ein ξ ∈ E, so können wir dies umformen
in den Ausdruck (kE σ) # ((pK, µ[p,λ]))ξ = � (kE σ,pK )−1� # � E
(µ[p,λ]) = µ[p,λ (kσ,pK ) −1ξ � =
µ[p,λ][pK, kσ(p) −1ξ] = λ(kσ(p) −1ξ). Diese zweite Komponente reduziert sich also
auf λ ◦ kσ(p) −1 , was nach Definition der K-Aktion auf E # mit kσ(p) −1 λ, also mit der
zuerst angegebenen Komponente übereinstimmt.
Als eine Folgerung erhalten wir nun direkt das gewünschte Resultat:
3.8 Korollar. Das duale Determinantenbündel über der Grassmann-Mannigfaltig-
keit Gr E (B) zu einem endlich-dimensionalen Unterraum E eines Banachraumes B
ist homogen unter der Gruppe GL 1 (B). Es gilt
Det � Gr E (B) � # = GL 1 (B)×K Det(E) # .
Die Operation der Gruppe K = Stab(E) der oberen Dreieckmatrizen bezüglich
einer Zerlegung B = E ⊕ F auf der Standardfaser Det(E) # ist gegeben durch
kλ = det a −1 λ (3.22)
�
a
für k =
0
�
b
∈ K und λ ∈ Det(E)
d
# .