Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

3.2 Das Determinantenbündel 53
sehen, dass sich dessen homogene Fassung auf das Determinantenbündel überträgt.
Die folgende Aussage, die diese Frage klärt, ist der Einfachheit halber nur für das
Tensorprodukt formuliert, überträgt sich aber sofort auf das symmetrische und das
alternierende Tensorprodukt.
3.5 Satz. Werden nach den üblichen Prinzipien der faserweisen Konstruktion zwei
Assoziierte Vektorbündel zum selben Hauptfaserbündel tensoriert, so gilt für das
dadurch konstruierte Tensorbündel
G× K E ⊗ G× K F = G× K (E ⊗ F),
wobei die Operation von K auf E ⊗ F gegeben sei durch
k(ξ ⊗ η) = kξ ⊗ kη.
Beweis. Wie in Lemma 1.22 gesehen, ist jedes Element einer Faser über gK von
der Form [g, ζ]. Daher können wir ein Element [g, ξ] ⊗ [g, η] der Faser über G× K E ⊗
G× K F identifizieren mit [g, ξ ⊗ η] in G× K (E ⊗ F). Dies definiert offensichtlich einen
Isomorphismus der Fasern und außerdem eine biholomorphe Abbildung γ zwischen
den Bündeln, was unter den lokalen Trivialisierungen zu sehen ist:
(πE ⊗ πF) −1 (Uσ) π−1 E⊗F (Uσ)
γ
✲
❅ �
(ϕE)σ ⊗ (ϕF)σ
❅
�(ϕE⊗F)σ
❅ �
❅❅❘ ��✠
Uσ × (E ⊗ F)
Das Diagramm kommutiert. Denn für [g, ξ] ⊗ [g, η] ∈ (πE ⊗ πF) −1 (Uσ) erhält man
auf der linken Seite unter der Trivialisierung (ϕE)σ ⊗ (ϕF)σ des Tensorbündels
das Element (gK, kσ(g)ξ ⊗ kσ(g)η), welches mit dem Wert auf der rechten Seite,
(ϕE⊗F)σ([g, ξ ⊗ η]) = (gK, kσ(g)(ξ ⊗ η)), übereinstimmt. Insgesamt ist γ damit ein
Bündelisomorphismus.
Genauso wie im klassischen Zugang lineare Konstruktionen auf den Fasern aus-
geführt werden, geschieht das demnach auch im homogenen Fall. Hier steht dafür
noch direkter eine Faser zur Verfügung, oder besser gesagt sind die Fasern dafür
gewissermaßen isolierter.
3.6 Korollar. Sei E ein endlich-dimensionaler Unterraum von B. Für das Determi-
nantenbündel ergibt sich die homogene Beschreibung
Det � Gr E (B) � = GL 1 (B)× K Det E. (3.15)