Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

28 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
also die orthoganale Gruppe O(H) = GLφ+ (H) und die symplektische Gruppe
Sp(H) = GLφ− (H). Diese operieren auf den Grassmann-Untermannigfaltigkeiten
Grφ± (H) = {E ∈ Gr(H) : J±E ⊂ E ⊥ },
die als symmetrische und antisymmetrische Grassmannsche Grsymm(H) := Grφ+ (H)
und Granti(H) := Grφ− (H) bezeichnet werden sollen.
Beweis. Die Beschreibung von GLφ± ist klar, wenn man in φ±(gx, gy) das erste g auf
die andere Seite bringt. Auch die zweite Behauptung gilt einfach nach Definition
von φ(E × E) = 〈E|J±E〉.
In diesem Fall sind die Karten erwartungsgemäß
Lφ± (W, W⊥ ) = {z ∈ L(W, W ⊥ ) : z ∗ J± + J±z = 0},
die hermiteschen und antihermiteschen Operatoren H(W, W ⊥ ) und ¯ H(W, W ⊥ ).
2.3 Die restringierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten
Waren die algebraischen Einschränkungen des vorigen Abschnitts tatsächlich Un-
termannigfaltigkeiten, so werden später doch Verkleinerungen der Grassmannschen
gebraucht, die auch eine feinere Topologie haben, also keine Untermannigfaltigkei-
ten mehr sind. Natürlich übertragen sich aber alle bisherigen Beschreibungen, las-
sen sich nur um weitere ergänzen. Bevor diese restringierten Grassmann-Mannigfal-
tigkeiten eingeführt werden können, benötigen wir zuerst noch zwei neue Konzepte
aus der Operatortheorie: Normideale von Operatoren und Fredholmoperatoren.
2.3.1 Operatorideale I und I-Fredholmoperatoren
Etwas ungenau aber umso eingängiger wollen wir von einem Ideal I ⊳ L sprechen.
Das soll heißen, dass für z ∈ I(E, F) und w ∈ L(F, G) stets auch w ◦ z ∈ I(E, G) ist
und Entsprechendes für die Verkettung von rechts gilt.
2.12 Beispiel. Man hat eine Kette von Idealen
0 ⊳ F ⊳ L1 ⊳ L2 ⊳ . . . ⊳ K ⊳ L,