Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann
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32 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN<br />
2.20 Bemerkung. Allerdings zeigt sich hier auch, dass GrI(B) keine echte Unter-<br />
mannigfaltigkeit der vollen <strong>Grassmann</strong>schen Gr(B) ist, da die obige Proposition nur<br />
I(E, F) ⊂ L(E, F) ∩ GrI(B)<br />
liefert, wo dann nämlich Gleichheit nötig wäre. Darüberhinaus wollen wir GrI(B)<br />
auch nicht mit der Relativtopologie betrachten, sondern wieder mit der von diesen<br />
Karten induzierten Topologie, welche wegen der bloßen Enthaltensrelation feiner<br />
ist.<br />
Beweis. Sei z ∈ I(E, F). Wegen der Beziehung<br />
pr Ez<br />
± = pr E ± ◦ prEz E + prF ± ◦z ◦ prEz E<br />
sind dann sowohl pr Ez<br />
+ als Summe eines FredI-<strong>Operator</strong>s <strong>und</strong> eines I-<strong>Operator</strong>s<br />
enthalten in FredI(Ez, B+) als auch pr Ez<br />
− im Ideal I(Ez, B−), weshalb der Graph von<br />
z wirklich <strong>Grassmann</strong>-Element ist. Bei pr Ez<br />
+ ist dabei der erste Summand FredI, da<br />
pr Ez<br />
E sogar Isomorphismus, also Fred0 ist.<br />
In dieser Topologie zerfällt die restringierte <strong>Grassmann</strong>sche in weitere Zusammen-<br />
hangskomponenten Gr d<br />
I (B), die alle Unterräume gleicher virtueller Dimension d<br />
enthalten.<br />
2.21 Definition. Als eine wichtige Kennzeichnung von Unterräumen W von B aus<br />
GrI(B) für Ideale I zwischen F <strong>und</strong> K soll die virtuelle Dimension oder der Index<br />
von W festgehalten werden als der <strong>Operator</strong>-Index der Projektion prW + ∈ Fred(B+),<br />
der orthogonalen Projektion <strong>auf</strong> H+ eingeschränkt <strong>auf</strong> den Unterraum W. Das heißt<br />
ind(W) = ind(pr W + ) = dim(ker prW + ) − dim(coker prW + ). (2.13)<br />
2.22 Bemerkung. Der Index ist für Fredholm-<strong>Operator</strong>en wohldefiniert, da ihr<br />
Kern <strong>und</strong> Kokern endlich-dimensional sind. Zudem ist der Index eines <strong>Operator</strong>s<br />
immer ganzzahlig. Im Fall eines <strong>Hilbert</strong>raumes H gilt darüberhinaus<br />
ind(W) = dim(W ∩ H−) − dim(W ⊥ ∩ H+).<br />
Beweis. Zum einen ist ker pr W + = W ∩ H− <strong>und</strong> zum anderen genauso coker pr W + =<br />
ker(pr W + )∗ = W ⊥ ∩ H+. Denn h ∈ H+ gehört genau dann zu ker(pr W + )∗ , wenn für alle<br />
w ∈ W das innere Produkt 〈(pr W + )∗ h|w〉 = 〈h| pr W + w〉 = 〈h| pr + w〉 = 〈pr∗ + h|w〉 = 〈h|w〉<br />
verschwindet, womit h gerade auch in W ⊥ liegt.
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