Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

42 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
Wir definieren nun G d := s d G 0 und erhalten die folgende Aussage.
2.37 Proposition. Die Komponenten G d sind disjunkt und ihre Vereinigung
�
G := G d ⊏ GL2(H) (2.21)
gibt eine graduierte Untergruppe der restringierten Gruppe GL2(G).
2.38 Bemerkung. Die Graduierung bedeutet, dass für d, d ′ ∈ Z gilt
d∈Z
G d G d′
⊂ G d+d′
.
Beweis. Wir beweisen die Aussagen in umgekehrter Reihenfolge. Für g, g ′ ∈ G 0
und d, d ′ ∈ Z ist nach dem eben gezeigten Lemma 2.20 das Produkt (sdg)(sd′ g ′ ) −1 =
s d gg ′−1 s −d′
enthalten in s d G 0 s −d′
Rechnung schon die Graduierung.
= sds−d′ G0 = sd−d′ G0 . Insbesondere zeigt die
Sei nun sdg = sd′ g ′ . Dann ist s−d′ sd = g ′ g−1 und daher gilt ind � a(sd−d′ ) � =
ind � a(g ′ g −1 ) � = 0, denn a(g ′ g −1 ) ist von der Form 1 + K. Also muss nach Lem-
ma 2.35 d = d ′ sein und damit auch g = g ′ . Die Vereinigung ist also tatsächlich
disjunkt.
2.39 Satz. Die Gruppe G operiert transitiv auf Gr2(H). Es ergibt sich also mit dem
Stabilisator
�
1 + α
K = StabG(H+) = {
0
�
b
: α ∈ I1(H+), δ ∈ I1(H−)}
1 + δ
(2.22)
dieser Operation von G die homogene Darstellung
der Hilbert-Schmidt-Grassmannschen.
Gr2(H) = G/K (2.23)
Beweis. Als Untergruppe von GL2(H) operiert G jedenfalls auf Gr2(H). Ist nun ein
Unterraum W ∈ Gr d
gilt
2 (H) gegeben, so ist sdW in Gr 0
2
ind(s d W) = ind(a) + ind(W)
(H) enthalten. Denn nach (2.16)
und nach Lemma 2.35 ist damit ind(s d W) = −d + d = 0. Da wie gezeigt die Aktion
von G 0 auf der 0-Komponente Gr 0
2 (H) transitiv ist, existiert g ∈ G0 , so dass s d W =
gH+. Schließlich ist damit W = s −d gH+ und G tatsächlich transitiv.