Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

34 2 GRASSMANN-MANNIGFALTIGKEITEN
zum Ideal und daher auch
� �
0 b
.
−c 0
Mit dem inversen Operator erhält man
� �
1 0
=
0 1
� a b
c d
� � �
p q
=
r s
� �
ap + br aq + bs
,
cp + dr cq + ds
so dass ap = 1 − br ∈ 1 + I(B+) ist und ds = 1 − cq ∈ 1 + I(B−), also a und c
wirklich FredI-Operatoren sind.
Tatsächlich zeigt dieses Lemma nun �sofort, � dass GLI(B) auf GrI(B) operiert, denn
a b
für w ∈ GrI(B) und einen Operator = g ∈ GLI(B) haben die Elemente in
c d
gW die Form
�
a
c
� � � � �
b x ax + by
= ,
d y cx + dy
� �
x
∈ W,
y
weshalb die Projektion von gW auf B+ der I-Fredholm-Operator a◦pr W + +b◦prW − ist
und die Projektion auf die zweite Komponente c◦pr W + +d◦prW −
gehört.
zum Ideal I(gW, B−)
Setzen wir nun noch einmal die in den nächsten Abschnitten gezeigte Transitivität
dieser Operation voraus, so können wir damit zugleich die noch offene Beschrei-
bung der Zusammenhangskomponenten von GrI(B) klären. Denn da nach Lem-
ma 2.25 die Diagonalkomponenten von GLI(B) Fredholm-Operatoren sind, zerfällt
diese Gruppe in Z Zusammenhangskomponenten. Zugleich ist aber der Stabilisa-
tor zusammenziehbar, da die Diagonaleinträge der oberen Dreieckmatrizen nach
Proposition 2.12 bereits invertierbar sein müssen. Damit bleiben die Zusammen-
hangskomponenten im Quotienten GLI(B)/ Stab(B+) = GrI(B) erhalten. Die Zu-
gehörigkeit eines Unterraumes zu einer Zusammenhangskomponente wird dabei
von der virtuellen Dimension bestimmt, wie folgendes Resultat zeigt.
2.26 Proposition. Für ein Element g =
� �
a b
∈ GLI(B) ist
c d
ind(gW) = ind(a) + ind(W). (2.16)
Beweis. Da zu W ∈ GrI(B) die Dimension von coker prW + = H+/ ran prW + endlich ist,
kann W nicht endlichdimensional sein und ist damit sofort isomorph zu H+. Wähle