Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

50 3 DETERMINANTENBÜNDEL
3.3 Proposition. Die lokalen Trivialisierungen ϕ E σ = (π, k E σ) des homogenen Tauto-
logischen Bündels GL 1 (B)× K E sind gegeben durch
für g =
� �
a b
∈ GL
c d
1 (B) und ξ ∈ E.
k E σ([g, ξ]) =
� �
aξ
0
Beweis. Nach (1.13) ist k E σ([g, ξ]) = kσ(g)ξ und dies wird nach (2.26) zu
�
a b
0 d − ca−1 � � �
ξ
b 0
3.2 Das Determinantenbündel
=
� �
aξ
.
0
(3.9)
Wir wollen nun wie beim Tautologischen Bündel zuerst die klassische und geome-
trische Formulierung des Determinantenbündels über der Grassmannschen geben,
um anschließend die abstraktere homogene darin wiederzufinden.
Für einen Vektorraum E der Dimension n ∈ N definieren wir
Det E := Λ n E (3.10)
als die höchste äußere Potenz von E. Typischen Elemente sind endliche Sum-
men von Produkten ∧ jξ j = ξ0 ∧ · · · ∧ ξn−1 der Länge n. Det E ist immer ein-
dimensional. Entsprechend wollen wir für eine lineare Abbildung a ∈ L(E, F)
zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen E und F eine lineare Abbildung
Det a ∈ L(Det E, Det F) definieren durch
Det(a) ∧ j ξ j := ∧ jaξ j. (3.11)
Dann ist offensichtlich Det(ab) = Det(a) Det(b) und Det(1E) = 1Det E und damit
Det ein kontravarianter Funktor in der Kategorie der endlich-dimensionalen linea-
ren Räume. Für E = F ist außerdem Det(a) = det a1Det(E), das heißt bis auf eine
Identifizierung von Det E und C die skalare Multiplikation mit der Determinante
det a.