Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

2.4 Die analytischen Strukturen der homogenen Beschreibung 45
Dann ist gzE = Ez der Graph von z, so dass gelten muss
U = {gzK : z ∈ L(E, F)}.
Aus Sicht der Gruppe gehört also die Projektion gK eines Elementes g ∈ GL 1 (B)
genau dann zu U, wenn gK = gzK ist für ein z ∈ L(E, F) oder anders gesagt, wenn
g −1
z g in K liegt. Nun berechnet sich das Produkt zu
g −1
z g =
� 1 0
−z 1
� � �
a b
=
c d
�
a b
�
c − za d − zb
und die Bedingung wird zu a ∈ GL(E), c = za und d − zb ∈ GL(F). Das heißt,
z = ca −1 und wir erhalten die behauptete Bedingung.
Die Formel für σ ist selbstverständlich holomorph und wirklich invariant unter K,
denn
�� � � � �
a b p q
σ
K = σ
c d 0 s
�� �
ap ∗
K
cp ∗
� �
1 0
=
cpp−1a−1 �
.
1
Und die induzierte Trivialisierung ist dann nach (1.9) gegeben durch
kσ(g) = σ(gK) −1 �
1
g =
−ca
0
−1 � �
a
1 c
� �
b a
=
d 0
b
d − ca−1 �
.
b
2.44 Bemerkung. Die Translation der Kartenabbildung auf gU ist dann zg : gU −→
L(E, F) mit zg(gu) = z(u) für u ∈ U und ihre Umkehrung wird beschrieben durch
z ↦→ ggzK.
� �
a b
2.45 Bemerkung. Wir wollen noch einmal festhalten, dass g = in derselben
c d
Äquivalenzklasse liegt wie der durch σ ausgewählte Vertreter gca−1, oder anders
formuliert der Unterraum gE mit dem Graphen von z = ca −1 übereinstimmt. Das
entspricht der Zerlegung (1.3), die sich in diesem Fall schreiben lässt als g = gzkσ(g)
mit z = ca−1 . In Matrixform lautet dies
�
a
c
� �
b 1
=
d ca
0
−1 � �
a
1 0
b
d − ca−1 �
.
b
Insbesondere ist σ(gzK) = gz und kσ(gzk) = k für z ∈ L(E, F) und k ∈ K.