Determinanten-Bündel und Dirac-Operator auf Hilbert-Grassmann

68 4 FOCKRAUM UND HOLOMORPHE SCHNITTE
Seien P und Q gegeben und sei d ∈ Z ihre charakteristische Differenz |P| − |Q|. Da
die trivialisierenden Mengen in unserem Fall zugleich Kartengebiete sind, wollen
wir direkt die Verknüfung der lokalen Darstellung φ PQ
σ mit der Kartenumkehrung
berechnen und auch diese mit φ PQ
σ bezeichnen:
Uσ
φ ✲
PQ
σ
z
❄�
I2(H+, H−)
����✒
Weil außerdem die Kartengebiete dicht in den einzelnen Komponenten liegen, be-
schränken wir uns auf die Untersuchung der Standardkarte I2(H+, H−) in Gr 0
2 (H) =
G0 /K, genauer auf ihre Translation durch sd in die d-Komponente Gd /K. Man be-
achte, dass diese Translation nach der Wahl der Orthonormalbasis zu Beginn der
Schnittkonstruktion kanonisch geworden ist. Die Umkehrung der d-translatierten
Karte lautet nun
z ↦→ s d gz = s d
C
� �
1 0
z 1
auf I2(H+, H−). Kürzen wir noch mit σd den Schnitt σ s d = s d · σ ◦ s −d ab. Dann
wissen wir bereits aus Proposition 1.30, dass für die lokale Darstellung gilt:
φ PQ
σd (sd gK) = kσd (sd g) ˜φ PQ (s d g). (4.14)
Nach (1.12) ist kσd (sd gz) = kσ(gz). Da es sich hier um die K-Operation auf
C handelt, haben wir die Determinante der a-Komponente dieses Ausdrucks zu
bilden. Diese a-Komponente stimmt nach (2.26) mit derjenigen von gz selbst
übereinstimmt, ist also 1. Es bleibt also nur der zweite Faktor in (4.14) und wir
erhalten
φ PQ
σd (z) = det a(tPQ s d gz).
Wir haben also a(tPQsd gz) zu bestimmen. Schreiben wir das Produkt tPQsd � �
als Matrix
a b
, so wird diese a-Komponente a+bz. Die Einträge von a+bz sind nach (4.12)
c d
für i, j ∈ Z+ gegeben als
(a + bz) i j = δni−d
j +
�
δ ni−d
k z k j .
Ist nun ni � d, so verschwindet der hintere Summand, da nur über negative k
summiert wird. Genauso verschwindet der vordere Summand im umgekehrten Fall
k∈Z−